Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần:

**a) Chứng minh: \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \)**

Xét tam giác \( \triangle AHE \) và \( \triangle AHF \):

- \( \angle AHE = \angle AHF = 90^\circ \) (do \( E \) và \( F \) là hình chiếu vuông góc của \( H \) trên \( AB \) và \( AC \)).
- \( AH \) là cạnh chung.

Do đó, hai tam giác \( \triangle AHE \) và \( \triangle AHF \) đồng dạng với nhau theo trường hợp đồng dạng góc - góc (AA).

Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[ \frac{AE}{AF} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Do đó:
\[ AE \cdot AC = AF \cdot AB \]

**b) Gọi \( I \) là giao điểm của \( EF \) và \( BC \). Chứng minh: \( \triangle AEF \sim \triangle ACB \) và \( IE \cdot IF = IB \cdot IC \).**

Xét tam giác \( \triangle AEF \) và \( \triangle ACB \):

- \( \angle AEF = \angle ACB \) (cùng chắn cung \( AB \)).
- \( \angle AFE = \angle ABC \) (cùng chắn cung \( AC \)).

Do đó, hai tam giác \( \triangle AEF \) và \( \triangle ACB \) đồng dạng với nhau theo trường hợp đồng dạng góc - góc (AA).

Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[ \frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB} \]

Do đó:
\[ \frac{IE}{IB} = \frac{IF}{IC} \]

Suy ra:
\[ IE \cdot IC = IF \cdot IB \]

**c) Biết \( AH = 6 \) cm; \( AE = 5 \) cm; \( HF = 4 \) cm. Tính \( BC \).**

Xét tam giác vuông \( \triangle AHE \) và \( \triangle AHF \):

- \( AH = 6 \) cm.
- \( AE = 5 \) cm.
- \( HF = 4 \) cm.

Ta có:
\[ HE = \sqrt{AH^2 - AE^2} = \sqrt{6^2 - 5^2} = \sqrt{36 - 25} = \sqrt{11} \]

Và:
\[ HF = 4 \]

Do đó:
\[ EF = HE + HF = \sqrt{11} + 4 \]

Xét tam giác \( \triangle AEF \) và \( \triangle ACB \) đồng dạng, ta có:
\[ \frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB} \]

Từ đó, ta có thể tính được \( BC \) dựa trên các tỉ lệ đã biết. Tuy nhiên, để tính chính xác \( BC \), ta cần thêm thông tin về các cạnh \( AB \) và \( AC \).