Hãy tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện số đó chia cho 5, 7, 9 lần lượt có số dư là 3, 4, 5

Để tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện số đó chia cho 5, 7, 9 lần lượt có số dư là 3, 4, 5, ta cần giải hệ phương trình đồng dư sau:

\[
\begin{cases}
x \equiv 3 \pmod{5} \\
x \equiv 4 \pmod{7} \\
x \equiv 5 \pmod{9}
\end{cases}
\]

Bước 1: Giải hai phương trình đầu tiên:

\[
\begin{cases}
x \equiv 3 \pmod{5} \\
x \equiv 4 \pmod{7}
\end{cases}
\]

Ta đặt \( x = 5k + 3 \) (vì \( x \equiv 3 \pmod{5} \)). Thay vào phương trình thứ hai:

\[
5k + 3 \equiv 4 \pmod{7}
\]

Suy ra:

\[
5k \equiv 1 \pmod{7}
\]

Ta cần tìm \( k \) sao cho \( 5k \equiv 1 \pmod{7} \). Ta thử các giá trị của \( k \):

\[
\begin{aligned}
5 \cdot 1 &\equiv 5 \pmod{7} \\
5 \cdot 2 &\equiv 10 \equiv 3 \pmod{7} \\
5 \cdot 3 &\equiv 15 \equiv 1 \pmod{7}
\end{aligned}
\]

Vậy \( k \equiv 3 \pmod{7} \), tức là \( k = 7m + 3 \) với \( m \) là số nguyên. Thay vào \( x = 5k + 3 \):

\[
x = 5(7m + 3) + 3 = 35m + 18
\]

Vậy \( x \equiv 18 \pmod{35} \).

Bước 2: Giải tiếp với phương trình thứ ba:

\[
\begin{cases}
x \equiv 18 \pmod{35} \\
x \equiv 5 \pmod{9}
\end{cases}
\]

Ta đặt \( x = 35n + 18 \) (vì \( x \equiv 18 \pmod{35} \)). Thay vào phương trình thứ ba:

\[
35n + 18 \equiv 5 \pmod{9}
\]

Suy ra:

\[
35n \equiv -13 \equiv -4 \equiv 5 \pmod{9}
\]

Do \( 35 \equiv 8 \pmod{9} \), ta có:

\[
8n \equiv 5 \pmod{9}
\]

Ta cần tìm \( n \) sao cho \( 8n \equiv 5 \pmod{9} \). Ta thử các giá trị của \( n \):

\[
\begin{aligned}
8 \cdot 1 &\equiv 8 \pmod{9} \\
8 \cdot 2 &\equiv 16 \equiv 7 \pmod{9} \\
8 \cdot 3 &\equiv 24 \equiv 6 \pmod{9} \\
8 \cdot 4 &\equiv 32 \equiv 5 \pmod{9}
\end{aligned}
\]

Vậy \( n \equiv 4 \pmod{9} \), tức là \( n = 9p + 4 \) với \( p \) là số nguyên. Thay vào \( x = 35n + 18 \):

\[
x = 35(9p + 4) + 18 = 315p + 140 + 18 = 315p + 158
\]

Vậy \( x \equiv 158 \pmod{315} \).

Số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện là \( x = 158 \).