Để chứng minh tam giác AIE cân và AE^2 = IH.EB, ta thực hiện các bước sau:

1. **Vẽ hình**:
- Vẽ hình chữ nhật ABCD.
- Vẽ đường chéo BD.
- Vẽ đường cao AH từ A vuông góc với BD.
- Vẽ đường phân giác DE của tam giác ABD, cắt AH tại I.

2. **Chứng minh tam giác AIE cân**:
- Vì DE là phân giác của tam giác ABD, nên theo tính chất của đường phân giác, ta có:
\[
\frac{AE}{EB} = \frac{AD}{DB}
\]
- Do AH vuông góc với BD, nên tam giác AHD và tam giác BHD là hai tam giác vuông.
- Xét tam giác AHD và tam giác BHD, ta có:
\[
\angle AHD = \angle BHD = 90^\circ
\]
- Do đó, tam giác AHD và tam giác BHD đồng dạng với nhau (góc-góc).
- Từ đó, ta có:
\[
\frac{AH}{HD} = \frac{HD}{HB}
\]
- Suy ra:
\[
AH \cdot HB = HD^2
\]
- Vì I là giao điểm của DE và AH, nên I nằm trên đường cao AH của tam giác ABD.
- Do đó, tam giác AIE cân tại I vì:
\[
\angle AIE = \angle EIB
\]

3. **Chứng minh AE^2 = IH.EB**:
- Từ tính chất của đường phân giác, ta có:
\[
\frac{AE}{EB} = \frac{AD}{DB}
\]
- Suy ra:
\[
AE = EB \cdot \frac{AD}{DB}
\]
- Do tam giác AIE cân tại I, nên:
\[
AE = IE
\]
- Từ đó, ta có:
\[
AE^2 = IE \cdot EB
\]
- Vì I nằm trên đường cao AH, nên:
\[
IE = IH
\]
- Suy ra:
\[
AE^2 = IH \cdot EB
\]

Vậy, ta đã chứng minh được tam giác AIE cân và AE^2 = IH.EB.