Cho ΔABC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA. Trên tia đối tia BC lấy điểm E sao cho DE = BC

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh DE // AC

1. **Xét tam giác ABD và tam giác CBE:**
- Ta có \(BD = BA\) (giả thiết)
- Ta có \(BE = BC\) (giả thiết)
- Góc \(ABD = CBE\) (vì cùng bằng góc \(ABC\))

Do đó, tam giác ABD và tam giác CBE là hai tam giác cân có cạnh bên bằng nhau và góc giữa hai cạnh bên bằng nhau.

2. **Chứng minh DE // AC:**
- Xét tam giác ABD và tam giác CBE, ta có:
- \(BD = BA\)
- \(BE = BC\)
- Góc \(ABD = CBE\)

Do đó, tam giác ABD và tam giác CBE là hai tam giác cân. Vì \(D\) và \(E\) nằm trên tia đối của tia \(BA\) và tia \(BC\) nên \(DE\) song song với \(AC\).

### b) Gọi M là điểm trên cạnh AC, tia MB cắt DE tại N. So sánh MA và ND, MC với NE

1. **Xét tam giác AMB và tam giác DNB:**
- Ta có \(DE // AC\) (đã chứng minh ở phần a)
- Do đó, theo định lý Talet, ta có:
\[
\frac{MA}{MC} = \frac{ND}{NE}
\]

2. **So sánh MA và ND, MC với NE:**
- Từ tỉ lệ trên, ta có:
\[
MA \cdot NE = MC \cdot ND
\]

### c) Từ N kẻ MT vuông góc với BA, từ N kẻ NH vuông góc với BD. Chứng minh MT = NH

1. **Xét tam giác vuông MNT và tam giác vuông NHB:**
- Ta có \(MT \perp BA\) và \(NH \perp BD\)
- Góc \(MNT = NHB\) (cùng bằng 90 độ)
- Góc \(NMT = NBH\) (vì DE // AC)

Do đó, tam giác MNT và tam giác NHB là hai tam giác vuông có góc nhọn bằng nhau.

2. **Chứng minh MT = NH:**
- Vì tam giác MNT và tam giác NHB là hai tam giác vuông có góc nhọn bằng nhau, nên:
\[
MT = NH
\]

Vậy ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.