Cho biểu thức \( A \):

\[ A = \frac{x \sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} - \frac{x \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} + \frac{x + 1}{\sqrt{x}} \]

với \( x > 0, x \neq 1 \).

Ta sẽ rút gọn biểu thức \( A \).

Đầu tiên, ta xét từng phân thức một:

1. \(\frac{x \sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}}\)

Ta nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{x} \):

\[ \frac{x \sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} = \frac{x \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - 1 \cdot \sqrt{x}}{x \cdot \sqrt{x} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x \sqrt{x} - x} = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x (\sqrt{x} - 1)} \]

2. \(\frac{x \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}}\)

Ta nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{x} \):

\[ \frac{x \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} = \frac{x \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 1 \cdot \sqrt{x}}{x \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x \sqrt{x} + x} = \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x (\sqrt{x} + 1)} \]

3. \(\frac{x + 1}{\sqrt{x}}\)

\[ \frac{x + 1}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \]

Bây giờ, ta cộng các phân thức đã rút gọn lại:

\[ A = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x (\sqrt{x} - 1)} - \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x (\sqrt{x} + 1)} + \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \]

Ta nhận thấy rằng:

\[ \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x (\sqrt{x} - 1)} - \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x (\sqrt{x} + 1)} \]

Có thể được viết lại dưới dạng phân số chung:

\[ = \frac{(x^2 - \sqrt{x})(\sqrt{x} + 1) - (x^2 + \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)}{x (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \]

\[ = \frac{x^2 \sqrt{x} + x^2 - \sqrt{x}^2 - \sqrt{x} - x^2 \sqrt{x} + x^2 - \sqrt{x}^2 + \sqrt{x}}{x (x - 1)} \]

\[ = \frac{2x^2 - 2x}{x (x - 1)} \]

\[ = \frac{2(x^2 - x)}{x (x - 1)} \]

\[ = 2 \]

Vậy biểu thức \( A \) rút gọn là:

\[ A = 2 + \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \]

\[ A = 2 + \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \]

Đây là biểu thức đã rút gọn của \( A \).