Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các định lý lượng giác trong tam giác.

### a. Tính khoảng cách từ B đến AC
Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC chính là độ dài đường cao hạ từ B xuống AC. Gọi điểm hạ đường cao từ B xuống AC là H.

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác:
\[ S = \frac{1}{2} \times BC \times AH \times \sin(\angle BAC) \]

Trước tiên, ta cần tính góc \(\angle BAC\):
\[ \angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 22^\circ - 30^\circ = 128^\circ \]

Diện tích tam giác ABC cũng có thể được tính bằng:
\[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\angle BAC) \]

Sử dụng định lý sin để tính các cạnh AB và AC:
\[ \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} \]

Vậy:
\[ \frac{20}{\sin(128^\circ)} = \frac{AB}{\sin(30^\circ)} = \frac{AC}{\sin(22^\circ)} \]

Tính các giá trị sin:
\[ \sin(128^\circ) \approx 0.788 \]
\[ \sin(30^\circ) = 0.5 \]
\[ \sin(22^\circ) \approx 0.374 \]

Tính các cạnh:
\[ AB = \frac{20 \times 0.5}{0.788} \approx 12.7 \, \text{cm} \]
\[ AC = \frac{20 \times 0.374}{0.788} \approx 9.5 \, \text{cm} \]

Bây giờ, tính diện tích tam giác ABC:
\[ S = \frac{1}{2} \times 20 \times 9.5 \times \sin(128^\circ) \approx \frac{1}{2} \times 20 \times 9.5 \times 0.788 \approx 74.81 \, \text{cm}^2 \]

Khoảng cách từ B đến AC (đường cao BH):
\[ S = \frac{1}{2} \times BC \times BH \]
\[ 74.81 = \frac{1}{2} \times 20 \times BH \]
\[ BH = \frac{74.81 \times 2}{20} \approx 7.48 \, \text{cm} \]

### b. Tính các cạnh và góc còn lại của tam giác ABC
Các cạnh đã được tính ở phần a:
\[ AB \approx 12.7 \, \text{cm} \]
\[ AC \approx 9.5 \, \text{cm} \]

Các góc đã được tính:
\[ \angle BAC = 128^\circ \]
\[ \angle ABC = 22^\circ \]
\[ \angle ACB = 30^\circ \]

### c. Tính khoảng cách từ A đến BC
Khoảng cách từ A đến BC chính là độ dài đường cao hạ từ A xuống BC. Gọi điểm hạ đường cao từ A xuống BC là D.

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác:
\[ S = \frac{1}{2} \times BC \times AD \times \sin(\angle BAC) \]

Khoảng cách từ A đến BC (đường cao AD):
\[ S = \frac{1}{2} \times BC \times AD \]
\[ 74.81 = \frac{1}{2} \times 20 \times AD \]
\[ AD = \frac{74.81 \times 2}{20} \approx 7.48 \, \text{cm} \]

Vậy, khoảng cách từ A đến BC cũng là 7.48 cm.