Để tìm các số nguyên \( x \) sao cho biểu thức \( \frac{14}{2x+3} \) và \( \frac{20}{2x+1} \) là số nguyên, ta cần giải các phương trình sau:

### c) \(\frac{14}{2x+3}\) là số nguyên

Điều này có nghĩa là \( 2x + 3 \) phải là ước của 14. Các ước của 14 là: \( \pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14 \).

Ta lần lượt giải các phương trình:

1. \( 2x + 3 = 1 \)
\[
2x = 1 - 3 \implies 2x = -2 \implies x = -1
\]

2. \( 2x + 3 = -1 \)
\[
2x = -1 - 3 \implies 2x = -4 \implies x = -2
\]

3. \( 2x + 3 = 2 \)
\[
2x = 2 - 3 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

4. \( 2x + 3 = -2 \)
\[
2x = -2 - 3 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

5. \( 2x + 3 = 7 \)
\[
2x = 7 - 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2
\]

6. \( 2x + 3 = -7 \)
\[
2x = -7 - 3 \implies 2x = -10 \implies x = -5
\]

7. \( 2x + 3 = 14 \)
\[
2x = 14 - 3 \implies 2x = 11 \implies x = \frac{11}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

8. \( 2x + 3 = -14 \)
\[
2x = -14 - 3 \implies 2x = -17 \implies x = -\frac{17}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

Vậy các giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn là: \( x = -1, -2, 2, -5 \).

### d) \(\frac{20}{2x+1}\) là số nguyên

Điều này có nghĩa là \( 2x + 1 \) phải là ước của 20. Các ước của 20 là: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20 \).

Ta lần lượt giải các phương trình:

1. \( 2x + 1 = 1 \)
\[
2x = 1 - 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0
\]

2. \( 2x + 1 = -1 \)
\[
2x = -1 - 1 \implies 2x = -2 \implies x = -1
\]

3. \( 2x + 1 = 2 \)
\[
2x = 2 - 1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

4. \( 2x + 1 = -2 \)
\[
2x = -2 - 1 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

5. \( 2x + 1 = 4 \)
\[
2x = 4 - 1 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

6. \( 2x + 1 = -4 \)
\[
2x = -4 - 1 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

7. \( 2x + 1 = 5 \)
\[
2x = 5 - 1 \implies 2x = 4 \implies x = 2
\]

8. \( 2x + 1 = -5 \)
\[
2x = -5 - 1 \implies 2x = -6 \implies x = -3
\]

9. \( 2x + 1 = 10 \)
\[
2x = 10 - 1 \implies 2x = 9 \implies x = \frac{9}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

10. \( 2x + 1 = -10 \)
\[
2x = -10 - 1 \implies 2x = -11 \implies x = -\frac{11}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

11. \( 2x + 1 = 20 \)
\[
2x = 20 - 1 \implies 2x = 19 \implies x = \frac{19}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

12. \( 2x + 1 = -20 \)
\[
2x = -20 - 1 \implies 2x = -21 \implies x = -\frac{21}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

Vậy các giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn là: \( x = 0, -1, 2, -3 \).