Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của đường trung bình và các tam giác đồng dạng.

a. Chứng minh \(AD = EF\):

- Vì \(D\) là trung điểm của \(AB\) và \(DE \parallel BC\), nên \(DE\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
- Do đó, \(DE = \frac{1}{2} BC\).

- Tương tự, vì \(E\) là điểm trên \(AC\) và \(EF \parallel AB\), nên \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(AEC\).
- Do đó, \(EF = \frac{1}{2} AB\).

- Vì \(D\) là trung điểm của \(AB\), nên \(AD = \frac{1}{2} AB\).

- Từ đó, ta có \(AD = EF\).

b. Chứng minh \(\triangle ADE \cong \triangle EFC\):

- Xét tam giác \(ADE\) và tam giác \(EFC\):
- \(AD \parallel EF\) (vì \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(AEC\)).
- \(DE \parallel FC\) (vì \(DE\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)).

- Do đó, hai tam giác này có các cặp cạnh tương ứng song song và bằng nhau:
- \(AD = EF\) (đã chứng minh ở phần a).
- \(DE = FC\) (vì \(DE\) và \(FC\) đều bằng \(\frac{1}{2} BC\)).

- Vì vậy, \(\triangle ADE \cong \triangle EFC\) theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (CCC).

c. Chứng minh \(AE = EC\) và \(BF = FC\):

- Vì \(DE\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), nên \(E\) là trung điểm của \(AC\).
- Do đó, \(AE = EC\).

- Tương tự, vì \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(AEC\), nên \(F\) là trung điểm của \(BC\).
- Do đó, \(BF = FC\).

Vậy ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.