Chúng ta sẽ giải từng bài toán một cách chi tiết.

### 1) Tìm x

#### a) \((x + 3)^3 - (x - 1)^3 = 56\)

Sử dụng công thức hiệu lập phương:
\[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
\]
Với \(a = x + 3\) và \(b = x - 1\), ta có:
\[
(x + 3)^3 - (x - 1)^3 = [(x + 3) - (x - 1)][(x + 3)^2 + (x + 3)(x - 1) + (x - 1)^2]
\]
\[
= 4[(x + 3)^2 + (x + 3)(x - 1) + (x - 1)^2]
\]
\[
= 4[(x^2 + 6x + 9) + (x^2 + 2x - 3) + (x^2 - 2x + 1)]
\]
\[
= 4[3x^2 + 6x + 7]
\]
\[
= 12x^2 + 24x + 28
\]
Theo đề bài:
\[
12x^2 + 24x + 28 = 56
\]
\[
12x^2 + 24x + 28 - 56 = 0
\]
\[
12x^2 + 24x - 28 = 0
\]
Chia cả hai vế cho 4:
\[
3x^2 + 6x - 7 = 0
\]
Giải phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)}}{2 \cdot 3}
\]
\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 84}}{6}
\]
\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{120}}{6}
\]
\[
x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{30}}{6}
\]
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{30}}{3}
\]
Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x = -1 \pm \frac{\sqrt{30}}{3}
\]

#### b) \((x + 1)^2 \cdot (x + 2) + (x - 1)^2 \cdot (x - 2) = 12\)

Mở rộng các biểu thức:
\[
(x + 1)^2 \cdot (x + 2) = (x^2 + 2x + 1)(x + 2) = x^3 + 2x^2 + x + 2x^2 + 4x + 2 = x^3 + 4x^2 + 5x + 2
\]
\[
(x - 1)^2 \cdot (x - 2) = (x^2 - 2x + 1)(x - 2) = x^3 - 2x^2 + x - 2x^2 + 4x - 2 = x^3 - 4x^2 + 5x - 2
\]
Cộng hai biểu thức:
\[
(x^3 + 4x^2 + 5x + 2) + (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) = 2x^3 + 10x = 12
\]
\[
2x^3 + 10x - 12 = 0
\]
Chia cả hai vế cho 2:
\[
x^3 + 5x - 6 = 0
\]
Giải phương trình bậc ba:
\[
x = 1
\]
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\).

#### c) \(x^3 + (x - 1)^3 = (2x - 1)^3\)

Sử dụng công thức lập phương:
\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]
Với \(a = x\) và \(b = x - 1\), ta có:
\[
x^3 + (x - 1)^3 = (x + x - 1)((x)^2 - x(x - 1) + (x - 1)^2)
\]
\[
= (2x - 1)(x^2 - x^2 + x + x^2 - 2x + 1)
\]
\[
= (2x - 1)(x^2 - x + 1)
\]
Theo đề bài:
\[
(2x - 1)^3 = (2x - 1)(x^2 - x + 1)
\]
\[
(2x - 1)^2 = x^2 - x + 1
\]
\[
4x^2 - 4x + 1 = x^2 - x + 1
\]
\[
3x^2 - 3x = 0
\]
\[
3x(x - 1) = 0
\]
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 0\) hoặc \(x = 1\).

### 2) Chứng minh rằng tổng \(x^3 + y^3 + z^3 + t^3\) chia hết cho 3

Giả sử \(x + y + z + t \equiv 0 \pmod{3}\). Ta có:
\[
x \equiv a \pmod{3}, \quad y \equiv b \pmod{3}, \quad z \equiv c \pmod{3}, \quad t \equiv d \pmod{3}
\]
Với \(a + b + c + d \equiv 0 \pmod{3}\). Ta cần chứng minh:
\[
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \equiv 0 \pmod{3}
\]
Sử dụng định lý Fermat nhỏ, ta có:
\[
a^3 \equiv a \pmod{3}, \quad b^3 \equiv b \pmod{3}, \quad c^3 \equiv c \pmod{3}, \quad d^3 \equiv d \pmod{3}
\]
Do đó:
\[
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \equiv a + b + c + d \equiv 0 \pmod{3}
\]
Vậy tổng \(x^3 + y^3 + z^3 + t^3\) chia hết cho 3.

### 3) Phân tích thành nhân tử: \((a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3\)

Sử dụng công thức lập phương:
\[
(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
\]
Do đó:
\[
(a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
\]
Vậy:
\[
(a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
\]