Để giải bài toán này, ta cần tính tổng của dãy phân số:

\[ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \cdots + \frac{1}{x \times (x+1)} = \frac{2025}{2026} \]

Ta có thể sử dụng phương pháp phân tích phân số để đơn giản hóa từng phân số trong dãy.

\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]

Áp dụng phương pháp này vào từng phân số trong dãy:

\[ \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \]
\[ \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \]
\[ \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \]
\[ \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \]
\[ \cdots \]
\[ \frac{1}{x \times (x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \]

Khi cộng tất cả các phân số này lại, ta sẽ thấy rằng các số hạng trung gian sẽ triệt tiêu lẫn nhau:

\[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) \]

Tổng này sẽ rút gọn thành:

\[ 1 - \frac{1}{x+1} \]

Theo đề bài, tổng này bằng \(\frac{2025}{2026}\):

\[ 1 - \frac{1}{x+1} = \frac{2025}{2026} \]

Giải phương trình này để tìm \(x\):

\[ 1 - \frac{1}{x+1} = \frac{2025}{2026} \]
\[ \frac{1}{x+1} = 1 - \frac{2025}{2026} \]
\[ \frac{1}{x+1} = \frac{1}{2026} \]
\[ x + 1 = 2026 \]
\[ x = 2025 \]

Vậy \(x = 2025\).