Để xác định các tập hợp \( A \cup B \) và \( A \cap B \) và biểu diễn trên trục số, ta thực hiện như sau:

**Ví dụ 3:**

a. \( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1 \} \) và \( B = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \leq 3 \} \)

- \( A \cup B = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1 \text{ hoặc } x \leq 3 \} = \mathbb{R} \)
- \( A \cap B = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1 \text{ và } x \leq 3 \} = [1, 3] \)

Biểu diễn trên trục số:
- \( A \cup B \): Toàn bộ trục số.
- \( A \cap B \): Đoạn từ 1 đến 3, bao gồm cả 1 và 3.

b. \( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x < 1 \} \) và \( B = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq 3 \} \)

- \( A \cup B = \{ x \in \mathbb{R} \mid x < 1 \text{ hoặc } x \geq 3 \} \)
- \( A \cap B = \emptyset \) (vì không có giá trị nào thỏa mãn cả hai điều kiện cùng lúc)

Biểu diễn trên trục số:
- \( A \cup B \): Tập hợp gồm các giá trị nhỏ hơn 1 và các giá trị lớn hơn hoặc bằng 3.
- \( A \cap B \): Không có giá trị nào (tập rỗng).

c. \( A = [1, 3] \) và \( B = (2, +\infty) \)

- \( A \cup B = [1, 3] \cup (2, +\infty) = [1, +\infty) \)
- \( A \cap B = [1, 3] \cap (2, +\infty) = (2, 3] \)

Biểu diễn trên trục số:
- \( A \cup B \): Đoạn từ 1 đến vô cùng, bao gồm cả 1.
- \( A \cap B \): Đoạn từ 2 đến 3, bao gồm 3 nhưng không bao gồm 2.

**Ví dụ 4:**

a) \( (-3, 6) \cap \mathbb{Z} \)

- Tập hợp các số nguyên trong khoảng (-3, 6) là \( \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \)

b) \( (1, 2) \cap \mathbb{Z} \)

- Không có số nguyên nào trong khoảng (1, 2), nên kết quả là \( \emptyset \).

c) \( (1, 2] \cap \mathbb{Z} \)

- Không có số nguyên nào trong khoảng (1, 2], nên kết quả là \( \emptyset \).

d) \( [-3, 5) \cap \mathbb{N} \)

- Tập hợp các số tự nhiên trong khoảng [-3, 5) là \( \{0, 1, 2, 3, 4\} \) (vì số tự nhiên bắt đầu từ 0).