Để tìm giá trị của \( m \) thỏa mãn các điều kiện đã cho, ta xét từng trường hợp:

a) \( A \cap B = [-3; 1] \)

Tập hợp \( A = [-4; 1] \) và \( B = [-3; m] \). Để giao của hai tập hợp này là \( [-3; 1] \), cần thỏa mãn hai điều kiện:
- Điểm đầu của \( B \) phải là -3 hoặc nhỏ hơn -3.
- Điểm cuối của \( B \) phải là 1 hoặc lớn hơn 1.

Vậy \( m \geq 1 \).

b) \( A \cup B = A \)

Tập hợp \( A = [-4; 1] \) và \( B = [-3; m] \). Để hợp của hai tập hợp này là \( A \), cần thỏa mãn điều kiện:
- Tập hợp \( B \) phải nằm hoàn toàn trong tập hợp \( A \).

Điều này có nghĩa là:
- Điểm đầu của \( B \) phải lớn hơn hoặc bằng -4.
- Điểm cuối của \( B \) phải nhỏ hơn hoặc bằng 1.

Vậy \( -4 \leq -3 \) (luôn đúng) và \( m \leq 1 \).

Tóm lại:
a) \( m \geq 1 \)
b) \( m \leq 1 \)

Kết hợp cả hai điều kiện trên, ta có \( m = 1 \).