Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

### Bài 5:
1. **Tính diện tích tam giác ABC:**
- Đáy \( BC = 36 \) cm.
- Chiều cao \( AH \) bằng \(\frac{5}{6}\) đáy, tức là \( AH = \frac{5}{6} \times 36 = 30 \) cm.
- Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} = \frac{1}{2} \times 36 \times 30 = 540 \text{ cm}^2
\]

2. **Cho \( AD = DB \) và \( AE = 2EC \):**
- \( D \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BD = DC = \frac{BC}{2} = 18 \) cm.
- \( AE = 2EC \), do đó \( E \) chia \( AC \) thành tỉ lệ 2:1.

a) **Tính diện tích tam giác ADE:**
- Tam giác ADE và tam giác ABC có chung chiều cao từ đỉnh A.
- Tỉ lệ diện tích của tam giác ADE và tam giác ABC bằng tỉ lệ của đáy DE và đáy BC.
- Vì \( D \) là trung điểm của \( BC \), nên \( DE = \frac{1}{2} BC = 18 \) cm.
- Diện tích tam giác ADE là:
\[
S_{ADE} = \frac{DE}{BC} \times S_{ABC} = \frac{18}{36} \times 540 = 270 \text{ cm}^2
\]

b) **Tính tỉ số đoạn thẳng BI và IE:**
- \( E \) chia \( AC \) thành tỉ lệ 2:1, do đó \( AE = 2EC \).
- \( I \) là giao điểm của \( AD \) và \( BE \).
- Tỉ số đoạn thẳng \( BI \) và \( IE \) là 2:1.

Vậy, diện tích tam giác ABC là 540 cm², diện tích tam giác ADE là 270 cm², và tỉ số đoạn thẳng BI và IE là 2:1.