Để chứng minh bất đẳng thức \( x^2 + y^2 \geq 2xy \) với mọi số thực \( x \) và \( y \), ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi đại số và bất đẳng thức cơ bản.

Bắt đầu từ bất đẳng thức \( x^2 + y^2 \geq 2xy \):

1. Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\[
x^2 + y^2 - 2xy \geq 0
\]

2. Nhận thấy rằng biểu thức bên trái có thể được viết lại dưới dạng bình phương của một hiệu:
\[
x^2 + y^2 - 2xy = (x - y)^2
\]

3. Vì bình phương của bất kỳ số thực nào cũng không âm, ta có:
\[
(x - y)^2 \geq 0
\]

4. Do đó:
\[
x^2 + y^2 - 2xy \geq 0
\]

5. Suy ra:
\[
x^2 + y^2 \geq 2xy
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( x^2 + y^2 \geq 2xy \) với mọi số thực \( x \) và \( y \).