Chứng minh AC vuông góc với QE

Để chứng minh các tính chất hình học trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất của tam giác, đường cao, đường trung tuyến và các đường vuông góc.

### Phần a) Chứng minh AC vuông góc với QE

1. **Xét tam giác ABC có các đường cao BD và CF**:
- BD vuông góc với AC tại D.
- CF vuông góc với AB tại F.

2. **Kẻ đường trung tuyến AM của tam giác ABC**:
- M là trung điểm của BC.

3. **Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với AM, cắt BD và CF lần lượt tại P và Q**:
- AP vuông góc với AM tại P.
- AQ vuông góc với AM tại Q.

4. **Kẻ đường thẳng qua C vuông góc với PQ, cắt tia BA tại E**:
- CE vuông góc với PQ tại E.

5. **Chứng minh AC vuông góc với QE**:
- Xét tam giác APQ, vì AP vuông góc với AM và AQ cũng vuông góc với AM, nên PQ là đường thẳng vuông góc với AM tại A.
- Do đó, PQ là đường thẳng nằm ngang (trong mặt phẳng chứa tam giác ABC).
- Vì CE vuông góc với PQ, nên CE là đường thẳng đứng (trong mặt phẳng chứa tam giác ABC).
- Do đó, E là điểm nằm trên đường thẳng BA sao cho CE vuông góc với PQ.
- Vì AC là đường chéo của tam giác ABC và CE vuông góc với PQ, nên AC vuông góc với QE.

### Phần b) Chứng minh AB = AE

1. **Xét tam giác ABC và điểm E**:
- CE vuông góc với PQ tại E.
- E nằm trên tia BA.

2. **Chứng minh AB = AE**:
- Vì CE vuông góc với PQ và E nằm trên tia BA, nên tam giác AEC là tam giác vuông tại E.
- Do đó, AE là cạnh huyền của tam giác vuông AEC.
- Vì tam giác ABC là tam giác nhọn và E nằm trên tia BA, nên AE = AB.

### Phần c) Chứng minh AD = AQ

1. **Xét tam giác APQ**:
- AP vuông góc với AM tại P.
- AQ vuông góc với AM tại Q.

2. **Chứng minh AD = AQ**:
- Vì AP và AQ đều vuông góc với AM tại A, nên tam giác APQ là tam giác cân tại A.
- Do đó, AD = AQ.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các tính chất hình học yêu cầu trong bài toán:
a) AC vuông góc với QE.
b) AB = AE.
c) AD = AQ.