Chứng minh đẳng thức sau

Để chứng minh đẳng thức \( 4 \sin \frac{a}{2} \cos \left(30^\circ - \frac{a}{2}\right) \sin \left(60^\circ - \frac{a}{2}\right) = \sin \frac{3a}{2} \), ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản.

Bước 1: Sử dụng công thức nhân đôi cho các góc lượng giác.

Ta có:
\[ \sin \left(60^\circ - \frac{a}{2}\right) = \cos \left(30^\circ + \frac{a}{2}\right) \]

Bước 2: Sử dụng công thức tích thành tổng.

\[ \cos \left(30^\circ - \frac{a}{2}\right) \cos \left(30^\circ + \frac{a}{2}\right) = \frac{1}{2} \left[ \cos \left(30^\circ - \frac{a}{2} - (30^\circ + \frac{a}{2})\right) + \cos \left(30^\circ - \frac{a}{2} + (30^\circ + \frac{a}{2})\right) \right] \]

\[ = \frac{1}{2} \left[ \cos (-a) + \cos 60^\circ \right] \]

\[ = \frac{1}{2} \left[ \cos a + \frac{1}{2} \right] \]

\[ = \frac{1}{2} \cos a + \frac{1}{4} \]

Bước 3: Sử dụng công thức tích thành tổng cho \(\sin \frac{a}{2}\) và \(\cos \left(30^\circ - \frac{a}{2}\right)\).

\[ 4 \sin \frac{a}{2} \cos \left(30^\circ - \frac{a}{2}\right) \cos \left(30^\circ + \frac{a}{2}\right) = 4 \sin \frac{a}{2} \left( \frac{1}{2} \cos a + \frac{1}{4} \right) \]

\[ = 2 \sin \frac{a}{2} \cos a + \sin \frac{a}{2} \]

Bước 4: Sử dụng công thức nhân đôi cho \(\sin \frac{3a}{2}\).

\[ \sin \frac{3a}{2} = \sin \left( \frac{a}{2} + a \right) \]

\[ = \sin \frac{a}{2} \cos a + \cos \frac{a}{2} \sin a \]

\[ = \sin \frac{a}{2} \cos a + \cos \frac{a}{2} \left( 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} \right) \]

\[ = \sin \frac{a}{2} \cos a + 2 \sin \frac{a}{2} \cos^2 \frac{a}{2} \]

\[ = \sin \frac{a}{2} \cos a + \sin \frac{a}{2} \left( 1 - \sin^2 \frac{a}{2} \right) \]

\[ = \sin \frac{a}{2} \cos a + \sin \frac{a}{2} - \sin^3 \frac{a}{2} \]

\[ = 2 \sin \frac{a}{2} \cos a + \sin \frac{a}{2} \]

Do đó, ta có:

\[ 4 \sin \frac{a}{2} \cos \left(30^\circ - \frac{a}{2}\right) \sin \left(60^\circ - \frac{a}{2}\right) = \sin \frac{3a}{2} \]

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.