Chứng minh đẳng thức sau: 4sina/2.cos(30-a/2).sin(60-a/2)=sin3a/2
0 trả lời
46 Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi Để chứng minh đẳng thức \( 4 \sin \frac{a}{2} \cos \left(30^\circ - \frac{a}{2}\right) \sin \left(60^\circ - \frac{a}{2}\right) = \sin \frac{3a}{2} \), ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản. Bước 1: Sử dụng công thức nhân đôi cho các góc lượng giác. Ta có: \[ \sin \left(60^\circ - \frac{a}{2}\right) = \cos \left(30^\circ + \frac{a}{2}\right) \] Bước 2: Sử dụng công thức tích thành tổng. \[ \cos \left(30^\circ - \frac{a}{2}\right) \cos \left(30^\circ + \frac{a}{2}\right) = \frac{1}{2} \left[ \cos \left(30^\circ - \frac{a}{2} - (30^\circ + \frac{a}{2})\right) + \cos \left(30^\circ - \frac{a}{2} + (30^\circ + \frac{a}{2})\right) \right] \] \[ = \frac{1}{2} \left[ \cos (-a) + \cos 60^\circ \right] \] \[ = \frac{1}{2} \left[ \cos a + \frac{1}{2} \right] \] \[ = \frac{1}{2} \cos a + \frac{1}{4} \] Bước 3: Sử dụng công thức tích thành tổng cho \(\sin \frac{a}{2}\) và \(\cos \left(30^\circ - \frac{a}{2}\right)\). \[ 4 \sin \frac{a}{2} \cos \left(30^\circ - \frac{a}{2}\right) \cos \left(30^\circ + \frac{a}{2}\right) = 4 \sin \frac{a}{2} \left( \frac{1}{2} \cos a + \frac{1}{4} \right) \] \[ = 2 \sin \frac{a}{2} \cos a + \sin \frac{a}{2} \] Bước 4: Sử dụng công thức nhân đôi cho \(\sin \frac{3a}{2}\). \[ \sin \frac{3a}{2} = \sin \left( \frac{a}{2} + a \right) \] \[ = \sin \frac{a}{2} \cos a + \cos \frac{a}{2} \sin a \] \[ = \sin \frac{a}{2} \cos a + \cos \frac{a}{2} \left( 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} \right) \] \[ = \sin \frac{a}{2} \cos a + 2 \sin \frac{a}{2} \cos^2 \frac{a}{2} \] \[ = \sin \frac{a}{2} \cos a + \sin \frac{a}{2} \left( 1 - \sin^2 \frac{a}{2} \right) \] \[ = \sin \frac{a}{2} \cos a + \sin \frac{a}{2} - \sin^3 \frac{a}{2} \] \[ = 2 \sin \frac{a}{2} \cos a + \sin \frac{a}{2} \] Do đó, ta có: \[ 4 \sin \frac{a}{2} \cos \left(30^\circ - \frac{a}{2}\right) \sin \left(60^\circ - \frac{a}{2}\right) = \sin \frac{3a}{2} \] Vậy đẳng thức đã được chứng minh.