Để giải các phương trình này, chúng ta sẽ lần lượt giải từng phương trình một.

### Phương trình 1:
\[ (1 + x)^2 - (x - 1)^2 = 0 \]

Sử dụng hằng đẳng thức:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]

Ta có:
\[ (1 + x)^2 - (x - 1)^2 = [(1 + x) - (x - 1)][(1 + x) + (x - 1)] \]
\[ = (1 + x - x + 1)(1 + x + x - 1) \]
\[ = (2)(2x) \]
\[ = 4x = 0 \]

Vậy:
\[ x = 0 \]

### Phương trình 2:
\[ (3x + 1)^2 - (2x + 3)^2 = 0 \]

Sử dụng hằng đẳng thức:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]

Ta có:
\[ (3x + 1)^2 - (2x + 3)^2 = [(3x + 1) - (2x + 3)][(3x + 1) + (2x + 3)] \]
\[ = (3x + 1 - 2x - 3)(3x + 1 + 2x + 3) \]
\[ = (x - 2)(5x + 4) = 0 \]

Vậy:
\[ x - 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 5x + 4 = 0 \]
\[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{4}{5} \]

### Phương trình 3:
\[ (5x - 4)^2 - (3x - 2)^2 = 0 \]

Sử dụng hằng đẳng thức:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]

Ta có:
\[ (5x - 4)^2 - (3x - 2)^2 = [(5x - 4) - (3x - 2)][(5x - 4) + (3x - 2)] \]
\[ = (5x - 4 - 3x + 2)(5x - 4 + 3x - 2) \]
\[ = (2x - 2)(8x - 6) = 0 \]

Vậy:
\[ 2x - 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 8x - 6 = 0 \]
\[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{3}{4} \]

### Phương trình 4:
\[ \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{5}{x} = \frac{8}{x^2 - 2x} \]

Ta quy đồng mẫu số:
\[ \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{5}{x} = \frac{8}{x(x - 2)} \]

Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{x(x + 2) - 5(x - 2)}{x(x - 2)} = \frac{8}{x(x - 2)} \]
\[ \frac{x^2 + 2x - 5x + 10}{x(x - 2)} = \frac{8}{x(x - 2)} \]
\[ \frac{x^2 - 3x + 10}{x(x - 2)} = \frac{8}{x(x - 2)} \]

Vậy:
\[ x^2 - 3x + 10 = 8 \]
\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} \]
\[ x = \frac{3 \pm 1}{2} \]
\[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \]

### Phương trình 5:
\[ \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{x + 1} + \frac{2x + 1}{x^2 + x} \]

Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{x + 1} + \frac{2x + 1}{x(x + 1)} \]

Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{x - 1}{x} = \frac{x + 2x + 1}{x(x + 1)} \]
\[ \frac{x - 1}{x} = \frac{3x + 1}{x(x + 1)} \]

Vậy:
\[ x - 1 = 3x + 1 \]
\[ -2x = 2 \]
\[ x = -1 \]

### Phương trình 6:
\[ \frac{x - 7}{x} = \frac{49}{x(x - 7)} + \frac{3x}{x - 7} \]

Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{x - 7}{x} = \frac{49 + 3x^2}{x(x - 7)} \]

Vậy:
\[ x(x - 7) = 49 + 3x^2 \]
\[ x^2 - 7x = 49 + 3x^2 \]
\[ -2x^2 - 7x - 49 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(-2)(-49)}}{2(-2)} \]
\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 392}}{-4} \]
\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{-343}}{-4} \]

Vì phương trình có nghiệm phức, nên không có nghiệm thực.

Vậy nghiệm của các phương trình là:
1. \( x = 0 \)
2. \( x = 2 \) hoặc \( x = -\frac{4}{5} \)
3. \( x = 1 \) hoặc \( x = \frac{3}{4} \)
4. \( x = 2 \) hoặc \( x = 1 \)
5. \( x = -1 \)
6. Không có nghiệm thực.