Để chứng minh rằng giá trị của biểu thức \( A \) không phụ thuộc vào giá trị của \( x \) và \( y \), ta sẽ biến đổi biểu thức \( A \) sao cho nó trở thành một hằng số.

Biểu thức ban đầu là:
\[ A = \left( \frac{\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{x}}{y - \sqrt{xy}} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}} \]

Đầu tiên, ta sẽ biến đổi các phân số trong ngoặc:
\[ \frac{\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{x}}{y - \sqrt{xy}} \]

Ta nhân cả tử và mẫu của phân số thứ nhất với \( x + \sqrt{xy} \):
\[ \frac{\sqrt{y}(x + \sqrt{xy})}{(x - \sqrt{xy})(x + \sqrt{xy})} = \frac{\sqrt{y}(x + \sqrt{xy})}{x^2 - xy} = \frac{\sqrt{y}x + y}{x(x - y)} \]

Tương tự, ta nhân cả tử và mẫu của phân số thứ hai với \( y + \sqrt{xy} \):
\[ \frac{\sqrt{x}(y + \sqrt{xy})}{(y - \sqrt{xy})(y + \sqrt{xy})} = \frac{\sqrt{x}(y + \sqrt{xy})}{y^2 - xy} = \frac{\sqrt{x}y + x}{y(y - x)} \]

Như vậy, ta có:
\[ \frac{\sqrt{y}x + y}{x(x - y)} + \frac{\sqrt{x}y + x}{y(y - x)} \]

Để cộng hai phân số này, ta quy đồng mẫu số:
\[ \frac{(\sqrt{y}x + y)y + (\sqrt{x}y + x)x}{xy(x - y)} = \frac{y\sqrt{y}x + y^2 + x\sqrt{x}y + x^2}{xy(x - y)} = \frac{y^{3/2}x + y^2 + x^{3/2}y + x^2}{xy(x - y)} \]

Ta thấy rằng tử số có thể viết lại thành:
\[ y^{3/2}x + y^2 + x^{3/2}y + x^2 = yx(y^{1/2} + x^{1/2}) + y^2 + x^2 \]

Do đó, biểu thức \( A \) trở thành:
\[ A = \left( \frac{y^{3/2}x + y^2 + x^{3/2}y + x^2}{xy(x - y)} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}} \]

Ta nhận thấy rằng tử số và mẫu số của phân số trong ngoặc đều có thể chia hết cho \( xy \), do đó:
\[ A = \left( \frac{y^{1/2} + x^{1/2}}{x - y} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}} \]

Khi nhân hai phân số này, ta nhận được:
\[ A = \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2}{(x - y)\sqrt{xy}} \]

Ta biết rằng:
\[ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy} \]

Do đó:
\[ A = \frac{x + y + 2\sqrt{xy}}{(x - y)\sqrt{xy}} \]

Ta tách biểu thức này thành hai phần:
\[ A = \frac{x + y}{(x - y)\sqrt{xy}} + \frac{2\sqrt{xy}}{(x - y)\sqrt{xy}} \]

Phần thứ hai đơn giản hóa thành:
\[ \frac{2\sqrt{xy}}{(x - y)\sqrt{xy}} = \frac{2}{x - y} \]

Phần thứ nhất trở thành:
\[ \frac{x + y}{(x - y)\sqrt{xy}} = \frac{x}{(x - y)\sqrt{xy}} + \frac{y}{(x - y)\sqrt{xy}} \]

Tổng hợp lại, ta có:
\[ A = \frac{x}{(x - y)\sqrt{xy}} + \frac{y}{(x - y)\sqrt{xy}} + \frac{2}{x - y} \]

Khi cộng các phân số này, ta nhận thấy rằng các biểu thức trong tử số và mẫu số đều có thể chia hết cho \( x - y \), do đó:
\[ A = \frac{x + y + 2}{(x - y)\sqrt{xy}} \]

Cuối cùng, ta nhận được:
\[ A = \frac{x + y + 2}{(x - y)\sqrt{xy}} \]

Tuy nhiên, biểu thức này vẫn phụ thuộc vào \( x \) và \( y \). Do đó, ta cần xem xét lại các bước biến đổi để tìm ra giá trị không phụ thuộc vào \( x \) và \( y \).