Để chứng minh rằng \(AD\) là phân giác góc ngoài tại \(A\) của tam giác \(ABC\), ta cần chứng minh rằng \(AD\) chia góc ngoài tại \(A\) thành hai góc bằng nhau.

Giả sử \( \angle BAC \) là góc trong tại \(A\) của tam giác \(ABC\), và \( \angle BAD' \) và \( \angle CAD' \) là hai góc tạo thành góc ngoài tại \(A\) với \(D'\) là điểm nằm trên tia đối của tia \(BC\).

Theo giả thiết, điểm \(D\) thuộc tia đối của tia \(BC\) sao cho:
\[ \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

Ta cần chứng minh rằng \(AD\) là phân giác của góc ngoài tại \(A\), tức là:
\[ \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

Bước 1: Sử dụng định lý phân giác góc ngoài
Theo định lý phân giác góc ngoài, nếu \(AD\) là phân giác của góc ngoài tại \(A\) của tam giác \(ABC\), thì:
\[ \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

Bước 2: Sử dụng giả thiết
Theo giả thiết, ta đã có:
\[ \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

Bước 3: Kết luận
Từ bước 1 và bước 2, ta thấy rằng điều kiện để \(AD\) là phân giác của góc ngoài tại \(A\) đã được thỏa mãn. Do đó, \(AD\) chính là phân giác của góc ngoài tại \(A\) của tam giác \(ABC\).

Vậy, ta đã chứng minh rằng \(AD\) là phân giác góc ngoài tại \(A\) của tam giác \(ABC\).