Để tính giá trị của biểu thức \( P = x^{2024} + \left(y - \frac{1}{2}\right)^{2025} \) với \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình \( x^3 + 8x^3 - 6xy + 1 = 0 \), ta cần đơn giản hóa phương trình ban đầu.

Trước hết, ta viết lại phương trình ban đầu:
\[ x^3 + 8x^3 - 6xy + 1 = 0 \]
\[ 9x^3 - 6xy + 1 = 0 \]

Ta có thể thử nghiệm các giá trị cụ thể của \( x \) và \( y \) để tìm ra một cặp giá trị thỏa mãn phương trình này. Một cách đơn giản là thử \( x = 0 \):

Nếu \( x = 0 \):
\[ 9(0)^3 - 6(0)y + 1 = 0 \]
\[ 1 = 0 \]

Điều này không đúng, vì vậy \( x \neq 0 \).

Thử \( x = 1 \):
\[ 9(1)^3 - 6(1)y + 1 = 0 \]
\[ 9 - 6y + 1 = 0 \]
\[ 10 - 6y = 0 \]
\[ 6y = 10 \]
\[ y = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \]

Vậy, cặp giá trị \( x = 1 \) và \( y = \frac{5}{3} \) thỏa mãn phương trình ban đầu.

Bây giờ, ta tính giá trị của \( P \):
\[ P = x^{2024} + \left(y - \frac{1}{2}\right)^{2025} \]

Thay \( x = 1 \) và \( y = \frac{5}{3} \) vào biểu thức \( P \):
\[ P = 1^{2024} + \left(\frac{5}{3} - \frac{1}{2}\right)^{2025} \]
\[ P = 1 + \left(\frac{10}{6} - \frac{3}{6}\right)^{2025} \]
\[ P = 1 + \left(\frac{7}{6}\right)^{2025} \]

Vậy giá trị của \( P \) là:
\[ P = 1 + \left(\frac{7}{6}\right)^{2025} \]

Đây là kết quả cuối cùng.