Cho tam giác ACB vuông tại A. Điểm D thuộc BC sao cho CD = AB. Kẻ vuông góc với AB. Tia phân giác góc B cắt DE tại I. Gọi AT cắt BD tại M. Chứng minh: M là trung điểm BD

Để chứng minh \( M \) là trung điểm của \( BD \), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và các định lý liên quan.

Trước hết, ta có tam giác \( ACB \) vuông tại \( A \), điểm \( D \) thuộc \( BC \) sao cho \( CD = AB \). Kẻ \( DE \) vuông góc với \( AB \). Tia phân giác góc \( B \) cắt \( DE \) tại \( I \). Gọi \( AT \) cắt \( BD \) tại \( M \).

### Bước 1: Xác định các đoạn thẳng và góc trong tam giác
- Tam giác \( ACB \) vuông tại \( A \), do đó \( AB \perp AC \).
- \( CD = AB \).

### Bước 2: Sử dụng tính chất của tia phân giác
- Tia phân giác của góc \( B \) cắt \( DE \) tại \( I \). Theo tính chất của tia phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{ID}{IE} = \frac{BD}{BE}
\]

### Bước 3: Sử dụng tính chất của đường trung tuyến
- Đường thẳng \( AT \) cắt \( BD \) tại \( M \). Ta cần chứng minh \( M \) là trung điểm của \( BD \).

### Bước 4: Sử dụng tính chất của tam giác vuông và các đoạn thẳng
- Xét tam giác \( ABD \) và tam giác \( ACD \):
- \( AB = CD \) (giả thiết).
- \( AD \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).

### Bước 5: Sử dụng tính chất đối xứng
- Do \( AB = CD \) và \( AD \) là đường cao, ta có thể suy ra rằng tam giác \( ABD \) và tam giác \( ACD \) là hai tam giác vuông cân tại \( A \).

### Bước 6: Sử dụng tính chất của đường trung bình
- Trong tam giác vuông cân, đường trung bình nối từ đỉnh vuông góc đến cạnh huyền sẽ chia cạnh huyền thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, \( M \) là trung điểm của \( BD \).

### Kết luận
Từ các bước trên, ta đã chứng minh được rằng \( M \) là trung điểm của \( BD \).