Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tia phân giác của góc ABC cắt AH và AC tại E và F.

a) Tính độ dài của AF và CF:
- Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lý Pythagoras:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

- Theo định lý đường phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{AF}{FC} = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
\]

- Gọi AF = x, FC = y. Ta có:
\[
x + y = AC = 8 \text{ cm}
\]
\[
\frac{x}{y} = \frac{3}{5} \Rightarrow x = \frac{3}{5}y
\]

- Thay x vào phương trình \(x + y = 8\):
\[
\frac{3}{5}y + y = 8 \Rightarrow \frac{8}{5}y = 8 \Rightarrow y = 5 \text{ cm}
\]
\[
x = \frac{3}{5} \times 5 = 3 \text{ cm}
\]

- Vậy, \(AF = 3 \text{ cm}\) và \(CF = 5 \text{ cm}\).

b) Chứng minh \(\Delta ABF \sim \Delta HBE\) từ đó suy ra \(\Delta AEF\) cân:
- Ta có \(\Delta ABF\) và \(\Delta HBE\) có:
\[
\angle BAF = \angle EHB \quad (\text{cùng bằng } \angle BAC)
\]
\[
\angle ABF = \angle HBE \quad (\text{cùng bằng } \angle ABC)
\]

- Do đó, \(\Delta ABF \sim \Delta HBE\) (g.g).

- Từ \(\Delta ABF \sim \Delta HBE\), ta có:
\[
\frac{AB}{BE} = \frac{BF}{HE} \Rightarrow \frac{6}{BE} = \frac{BF}{HE}
\]

- Do \(E\) nằm trên đường phân giác của \(\angle ABC\), ta có:
\[
\frac{AE}{EH} = \frac{AF}{FB}
\]

- Vì \(AF = 3 \text{ cm}\) và \(FB = 6 - 3 = 3 \text{ cm}\), ta có:
\[
\frac{AE}{EH} = \frac{3}{3} = 1 \Rightarrow AE = EH
\]

- Vậy, \(\Delta AEF\) cân tại \(E\).

c) Chứng minh \(AF \cdot BF = BE \cdot CF\):
- Từ \(\Delta ABF \sim \Delta HBE\), ta có:
\[
\frac{AB}{BE} = \frac{BF}{HE} \Rightarrow \frac{6}{BE} = \frac{3}{HE}
\]

- Do \(E\) nằm trên đường phân giác của \(\angle ABC\), ta có:
\[
BE = HE
\]

- Từ đó, ta có:
\[
\frac{6}{BE} = \frac{3}{BE} \Rightarrow BE = 3 \text{ cm}
\]

- Ta có:
\[
AF \cdot BF = 3 \cdot 3 = 9 \text{ cm}^2
\]
\[
BE \cdot CF = 3 \cdot 5 = 15 \text{ cm}^2
\]

- Vậy, \(AF \cdot BF = BE \cdot CF\) là không đúng. Có thể có sai sót trong tính toán hoặc giả thiết ban đầu.