Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5 cm, cotB = 5/8. Ta cần tính độ dài các đoạn thẳng AC và BC.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông:
- Tam giác ABC vuông tại A đã được cho trong đề bài, do đó không cần chứng minh thêm.

b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A:

1. Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BC:
- Ta có cotB = 5/8, tức là cotB = kề/đối = AB/AC.
- Gọi AC = x, ta có: cotB = AB/AC = 5/x = 5/8.
- Suy ra: x = 8 cm, tức là AC = 8 cm.

- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
BC² = AB² + AC²
BC² = 5² + 8²
BC² = 25 + 64
BC² = 89
BC = √89 cm.

2. Tính các tỉ số lượng giác của góc B:
- sinB = đối/huyền = AC/BC = 8/√89.
- cosB = kề/huyền = AB/BC = 5/√89.
- tanB = đối/kề = AC/AB = 8/5.
- cotB = kề/đối = AB/AC = 5/8 (đã cho).

3. Tính các tỉ số lượng giác của góc A:
- Vì góc A và góc B là hai góc nhọn trong tam giác vuông, nên A + B = 90°.
- Do đó, các tỉ số lượng giác của góc A là:
sinA = cosB = 5/√89.
cosA = sinB = 8/√89.
tanA = cotB = 5/8.
cotA = tanB = 8/5.

Tóm lại:
- Độ dài các đoạn thẳng AC và BC lần lượt là 8 cm và √89 cm.
- Các tỉ số lượng giác của góc B: sinB = 8/√89, cosB = 5/√89, tanB = 8/5, cotB = 5/8.
- Các tỉ số lượng giác của góc A: sinA = 5/√89, cosA = 8/√89, tanA = 5/8, cotA = 8/5.