Để tính tỉ số \( \frac{A}{B} \), ta cần biểu diễn tổng A và B dưới dạng tổng của cấp số nhân.

Đầu tiên, ta xét tổng A:
\[ A = 1 + 2^4 + 2^8 + \ldots + 2^{2000} \]

Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên \( a = 1 \) và công bội \( q = 2^4 = 16 \). Số hạng cuối cùng là \( 2^{2000} \).

Số hạng thứ \( n \) của cấp số nhân này là \( 2^{4(n-1)} \). Để tìm số hạng cuối cùng, ta giải phương trình:
\[ 2^{4(n-1)} = 2^{2000} \]
\[ 4(n-1) = 2000 \]
\[ n-1 = 500 \]
\[ n = 501 \]

Vậy tổng A có 501 số hạng. Tổng của cấp số nhân được tính bằng công thức:
\[ S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1} \]
\[ A = 1 \cdot \frac{16^{501} - 1}{16 - 1} = \frac{16^{501} - 1}{15} \]

Tiếp theo, ta xét tổng B:
\[ B = 1 + 2^2 + 2^4 + \ldots + 2^{2000} + 2^{2002} \]

Đây cũng là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên \( a = 1 \) và công bội \( q = 2^2 = 4 \). Số hạng cuối cùng là \( 2^{2002} \).

Số hạng thứ \( n \) của cấp số nhân này là \( 2^{2(n-1)} \). Để tìm số hạng cuối cùng, ta giải phương trình:
\[ 2^{2(n-1)} = 2^{2002} \]
\[ 2(n-1) = 2002 \]
\[ n-1 = 1001 \]
\[ n = 1002 \]

Vậy tổng B có 1002 số hạng. Tổng của cấp số nhân được tính bằng công thức:
\[ S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1} \]
\[ B = 1 \cdot \frac{4^{1002} - 1}{4 - 1} = \frac{4^{1002} - 1}{3} \]

Bây giờ, ta tính tỉ số \( \frac{A}{B} \):
\[ \frac{A}{B} = \frac{\frac{16^{501} - 1}{15}}{\frac{4^{1002} - 1}{3}} = \frac{16^{501} - 1}{15} \cdot \frac{3}{4^{1002} - 1} \]

Ta biết rằng \( 16 = 4^2 \), do đó \( 16^{501} = (4^2)^{501} = 4^{1002} \). Vậy:
\[ \frac{A}{B} = \frac{4^{1002} - 1}{15} \cdot \frac{3}{4^{1002} - 1} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \]

Vậy tỉ số \( \frac{A}{B} \) là \( \frac{1}{5} \).