Cho tập A gồm những số tự nhiên chia cho 3 dư 1, B là tập những số tự nhiên chia cho 4 dư 1. Ta luôn có A ∩ B = 0

Để chứng minh \( A \cap B = \emptyset \), ta cần chứng minh rằng không có số tự nhiên nào thuộc cả hai tập \( A \) và \( B \).

- Tập \( A \) gồm những số tự nhiên chia cho 3 dư 1, tức là các số có dạng \( 3k + 1 \) với \( k \) là số nguyên không âm.
- Tập \( B \) gồm những số tự nhiên chia cho 4 dư 1, tức là các số có dạng \( 4m + 1 \) với \( m \) là số nguyên không âm.

Giả sử tồn tại một số \( x \) thuộc cả hai tập \( A \) và \( B \). Khi đó, \( x \) phải thỏa mãn cả hai điều kiện:
\[ x = 3k + 1 \]
\[ x = 4m + 1 \]

Từ hai phương trình trên, ta có:
\[ 3k + 1 = 4m + 1 \]
\[ 3k = 4m \]

Điều này có nghĩa là \( 3k \) phải chia hết cho 4. Tuy nhiên, vì 3 và 4 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên \( k \) phải chia hết cho 4. Do đó, ta có thể viết \( k = 4n \) với \( n \) là số nguyên không âm.

Thay \( k = 4n \) vào phương trình \( x = 3k + 1 \), ta được:
\[ x = 3(4n) + 1 = 12n + 1 \]

Như vậy, \( x \) có dạng \( 12n + 1 \). Tuy nhiên, số này không thể đồng thời thỏa mãn cả hai điều kiện chia cho 3 dư 1 và chia cho 4 dư 1, vì \( 12n + 1 \) là số chia hết cho 12 cộng 1, không thể chia hết cho 3 và 4 cùng lúc.

Do đó, không tồn tại số tự nhiên nào thuộc cả hai tập \( A \) và \( B \), tức là:
\[ A \cap B = \emptyset \]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( A \cap B = \emptyset \).