Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu.

a) Chứng minh \(\triangle AMB = \triangle AMC\):

- Ta có \(AB = AC\) (giả thiết).
- \(AM\) là tia phân giác của \(\angle BAC\), do đó \(\angle BAM = \angle CAM\).
- \(M\) là giao điểm của tia phân giác \(AM\) với \(BC\), nên \(BM = MC\) (tính chất đường phân giác).

Vậy, \(\triangle AMB\) và \(\triangle AMC\) có:
- \(AB = AC\) (giả thiết),
- \(\angle BAM = \angle CAM\) (tính chất tia phân giác),
- \(BM = MC\) (tính chất đường phân giác).

Do đó, \(\triangle AMB = \triangle AMC\) (c.g.c).

b) Chứng minh \(AC \parallel BD\):

- Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(MD = MA\).
- Ta có \(AM = MD\) (giả thiết).
- Xét \(\triangle AMD\), ta có \(AM = MD\) và \(\angle AMB = \angle AMD\) (đối đỉnh).

Do đó, \(\triangle AMD\) là tam giác cân tại \(M\).

- Ta có \(\angle MAC = \angle MAD\) (tính chất tam giác cân).

Vì \(AB = AC\) và \(\angle BAM = \angle CAM\), nên \(\angle BAM = \angle CAM = \angle MAD\).

Do đó, \(\angle MAC = \angle MAD\).

Vậy, \(AC \parallel BD\) (vì hai góc so le trong bằng nhau).

c) Chứng minh ba điểm \(K\), \(B\), \(D\) thẳng hàng:

- Vẽ tia \(Ax\) song song với \(BC\) (tia \(Ax\) và điểm \(B\) nằm cùng phía đối với đường thẳng \(AC\)).
- Lấy điểm \(K\) thuộc tia \(Ax\) sao cho \(AK = BC\).

Ta có:
- \(Ax \parallel BC\) (giả thiết),
- \(AK = BC\) (giả thiết).

Do đó, \(\triangle AKB\) là tam giác cân tại \(A\) và \(\angle AKB = \angle ABC\).

- Ta đã chứng minh \(AC \parallel BD\) ở phần b.

Vậy, ba điểm \(K\), \(B\), \(D\) thẳng hàng (vì \(K\) nằm trên tia \(Ax\) song song với \(BC\) và \(D\) nằm trên đường thẳng \(BD\) song song với \(AC\)).

Kết luận: Ba điểm \(K\), \(B\), \(D\) thẳng hàng.