Chúng ta sẽ giải các phần của bài toán một cách chi tiết.

### Phần 1:

Cho \( abc \neq 0 \) và \( a + b + c = 0 \).

#### Phần a: Tính \( A = abc \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) + \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} \right) \)

Trước hết, ta có:
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab} = \frac{-c}{ab}
\]
vì \( c = - (a + b) \).

Vậy,
\[
abc \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = abc \cdot \frac{-c}{ab} = -c^2
\]

Tiếp theo, ta tính phần thứ hai:
\[
\left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = \frac{c + b}{bc} = \frac{-a}{bc}
\]
\[
\left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} \right) = \frac{a + c}{ca} = \frac{-b}{ca}
\]

Vậy:
\[
\left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} \right) = \left( \frac{-a}{bc} \right) \left( \frac{-b}{ca} \right) = \frac{ab}{abc} = \frac{1}{c}
\]

Vậy \( A \) sẽ trở thành:
\[
A = -c^2 + \frac{1}{c}
\]

#### Phần b: CMR \( \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^2 = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \)

Ta có:
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc + ac + ab}{abc}
\]

Áp dụng \( a + b + c = 0 \) để suy ra \( ab + ac + bc = -c^2 \):

Vậy:
\[
\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^2 = \left( \frac{-c^2}{abc} \right)^2 = \frac{c^4}{(abc)^2}
\]

Còn bên phải của phương trình:
\[
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2}{a^2b^2c^2}
\]
Với \( ab + ac + bc = -c^2 \), ta thay thế:
\[
\Rightarrow = \frac{c^4 + a^4 + b^4}{a^2 b^2 c^2}
\]

Vì vậy, chúng ta có được:
\[
\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^2 = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}
\]

### Phần 2:

Cho hàm số \( f(x) = ax + b \) và có điều kiện:
\[
f(1) = 3 \quad \text{và} \quad f(2) = 5
\]

Từ điều kiện \( f(1) = 3 \):
\[
a(1) + b = 3 \implies a + b = 3 \quad (1)
\]

Với điều kiện \( f(2) = 5 \):
\[
a(2) + b = 5 \implies 2a + b = 5 \quad (2)
\]

Giải hệ phương trình (1) và (2):
Từ (1), ta có \( b = 3 - a \).

Thay vào (2):
\[
2a + (3 - a) = 5
\]
\[
2a - a + 3 = 5 \Rightarrow a + 3 = 5 \Rightarrow a = 2
\]

Thay \( a = 2 \) vào (1):
\[
2 + b = 3 \Rightarrow b = 1
\]

Vậy, \( a = 2 \) và \( b = 1 \).

### Kết luận:

- Phần 1:
- a: \( A = -c^2 + \frac{1}{c} \)
- b: CMR đã được chứng minh
- Phần 2: \( a = 2 \) và \( b = 1 \).