Để giải bài toán đầu tiên, chúng ta có các điều kiện \( abc \neq 0 \) và \( a + b + c = 0 \).

### a. Tính \( A = abc \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) + \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} \right) \)

#### Bước 1: Tính \( abc \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \)

Ta có:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab} = \frac{-c}{ab} \quad (vì\ a + b + c = 0)
\]

Vậy:

\[
A_1 = abc \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = abc \cdot \frac{-c}{ab} = -c^2
\]

#### Bước 2: Tính \( \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} \right) \)

Cũng như trên, ta có:

\[
\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{c+b}{bc} = \frac{-a}{bc}
\]
\[
\frac{1}{c} + \frac{1}{a} = \frac{a+c}{ca} = \frac{-b}{ca}
\]

Vậy:

\[
A_2 = \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} \right) = \frac{-a}{bc} \cdot \frac{-b}{ca} = \frac{ab}{abc} = \frac{1}{c}
\]

### Tổng hợp:

\[
A = A_1 + A_2 = -c^2 + \frac{1}{c}
\]

### b. Chứng minh \(\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)^2 = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\)

Ta có:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc + ac + ab}{abc}
\]

Ta sẽ bình phương biểu thức này:

\[
\left( \frac{bc + ac + ab}{abc} \right)^2 = \frac{(bc + ac + ab)^2}{(abc)^2}
\]

Để chứng minh bên phải:

\[
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{b^2c^2 + a^2c^2 + a^2b^2}{(abc)^2}
\]

Ta có:

\[
\left( bc + ac + ab \right)^2 = b^2c^2 + a^2c^2 + a^2b^2 + 2abc(a + b + c) \quad (vì\ a + b + c = 0)
\]
Do đó, ta sẽ có:

\[
(bc + ac + ab)^2 = b^2c^2 + a^2c^2 + a^2b^2
\]

### Vì vậy, chúng ta có:

\[
\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)^2 = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}
\]

Vậy là hoàn tất việc tính toán và chứng minh!