Để chứng minh rằng \( \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0} \), trước tiên chúng ta cần nhớ rằng trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABC \) là điểm chia trọng số của các đỉnh của tam giác này. Cụ thể, trọng tâm \( G \) chia mỗi đoạn nối từ một đỉnh đến trung điểm của đối diện theo tỉ lệ \( 2:1 \).

1. **Định nghĩa các vector**:
- Gọi \( \vec{A} \), \( \vec{B} \), \( \vec{C} \) lần lượt là vị trí của các đỉnh \( A \), \( B \), \( C \).
- Trọng tâm \( G \) của tam giác được tính bằng công thức:
\[
\vec{G} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C})
\]

2. **Tính toán các vector**:
- Vector từ \( G \) đến \( A \):
\[
\vec{GA} = \vec{A} - \vec{G} = \vec{A} - \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} - \frac{1}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{B} - \frac{1}{3}\vec{C} = \frac{2}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{B} - \frac{1}{3}\vec{C}
\]

- Vector từ \( G \) đến \( B \):
\[
\vec{GB} = \vec{B} - \vec{G} = \vec{B} - \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = \frac{2}{3}\vec{B} - \frac{1}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{C}
\]

- Vector từ \( G \) đến \( C \):
\[
\vec{GC} = \vec{C} - \vec{G} = \vec{C} - \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = \frac{2}{3}\vec{C} - \frac{1}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{B}
\]

3. **Cộng các vector lại**:
Chúng ta cần tính:
\[
\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}
\]
Thay các giá trị đã tính:
\[
\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \left( \frac{2}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{B} - \frac{1}{3}\vec{C} \right) + \left( \frac{2}{3}\vec{B} - \frac{1}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{C} \right) + \left( \frac{2}{3}\vec{C} - \frac{1}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{B} \right)
\]

Giờ, gom nhóm lại:
\[
= \left( \frac{2}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{A} - \frac{1}{3}\vec{A} \right) + \left( -\frac{1}{3}\vec{B} + \frac{2}{3}\vec{B} - \frac{1}{3}\vec{B} \right) + \left( -\frac{1}{3}\vec{C} - \frac{1}{3}\vec{C} + \frac{2}{3}\vec{C} \right)
\]
\[
= 0 + 0 + 0 = \vec{0}
\]

Kết luận:
\[
\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}
\]

Vậy đã chứng minh được \( \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0} \).