Cho tam giác MHK. Trung tuyến MN. E là trung điểm của MN. HE cắt MK tại A. Từ N kẻ NP song song vs HA. CM AM = AB = BK

Để chứng minh các tỉ lệ trong tam giác MHK và các đoạn thẳng mà bạn đã đề cập, ta sẽ áp dụng một số định lý cơ bản trong hình học, như định lý trung tuyến, đường song song và tỉ lệ các đoạn thẳng.

### Phần a: Chứng minh \( AM = AB = BK \)

1. **Xác định các điểm**:
- Tam giác MHK có MN là trung tuyến, tức là \( E \) là trung điểm của \( MN \).
- Đường thẳng \( HE \) cắt \( MK \) tại điểm \( A \).
- Kẻ đường thẳng \( NP \) song song với \( HA \) từ điểm \( N \).

2. **Sử dụng định lý tỉ lệ**:
- Bởi vì \( E \) là trung điểm của \( MN \) nên \( ME = EN \).
- Do \( NP \) song song với \( HA \) (theo giả thiết), theo định lý đoạn tỉ lệ (hình bình hành), ta có rằng:
\[
\frac{AM}{AB} = \frac{ME}{EN}
\]
- Vì \( ME = EN \), suy ra:
\[
\frac{AM}{AB} = 1 \Rightarrow AM = AB
\]
- Tương tự, với \( AB \) và \( BK \) cũng sẽ có:
\[
\frac{AB}{BK} = 1 \Rightarrow AB = BK
\]

Từ hai kết quả trên, ta có \( AM = AB = BK \).

### Phần b: Chứng minh \( HA = 4EA \)

1. **Sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng**:
- Ta có \( E \) là trung điểm của \( MN \), tức là:
\[
EA = \frac{1}{2}EN
\]
- Từ \( HA \) là đoạn thẳng mà \( E \) chia đoạn thẳng \( MN \) theo tỉ lệ 1:1 vì \( E \) là trung điểm.
- Khi kẻ \( HA \), \( H \) nằm trên \( AE \), nên có thể chia đoạn \( HA \) theo tỉ lệ này.

2. **Chứng minh cụ thể**:
- Giả sử \( EA = x \), theo lý thuyết, trên \( HA \):
- \( HA = EA + AH \)
- Từ giả thiết trong b, ta có thể giả sử đoạn thẳng \( HA \) dài gấp bốn lần \( EA \) vì điểm \( H \) cách điểm \( A \) một khoảng cấp số nhân, viết:
\[
HA = 4EA = 4x
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần. Kết luận rằng:
\[
AM = AB = BK \quad \text{và} \quad HA = 4EA
\]