Để chứng minh rằng \( A > \frac{3}{7} \), trước tiên ta tính giá trị của A:

\[
A = \sum_{n=2}^{20} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{20^2}
\]

Ta sẽ tính A bằng cách ước lượng tổng trên. Trong khoảng từ 2 đến 20, các giá trị của \( \frac{1}{n^2} \) giảm dần với n.

Để ước lượng A, ta có thể so sánh với một tổng liên tục. Ta thấy rằng:

\[
\frac{1}{n^2} \geq \int_n^{n+1} \frac{1}{x^2} \, dx
\]

Vì vậy, tổng có thể được ước lượng như sau:

\[
A \geq \int_2^{21} \frac{1}{x^2} \, dx
\]

Ta tính tích phân:

\[
\int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x}
\]

Giới hạn từ 2 đến 21:

\[
\int_2^{21} \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{21} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{21}
\]

Để tính giá trị này, ta đưa về cùng mẫu:

\[
\frac{1}{2} - \frac{1}{21} = \frac{21}{42} - \frac{2}{42} = \frac{19}{42}
\]

Vì vậy, \( A \geq \frac{19}{42} \).

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng \( \frac{19}{42} > \frac{3}{7} \).

Ta tính \( \frac{3}{7} \) dưới mẫu số 42:

\[
\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{18}{42}
\]

Rõ ràng là:

\[
\frac{19}{42} > \frac{18}{42}
\]

Vậy, ta đã chứng minh rằng \( A \geq \frac{19}{42} > \frac{3}{7} \).

Do đó, ta kết luận:

\[
A > \frac{3}{7}
\]

Chứng minh đã hoàn tất.