### Bước 1: Rút gọn biểu thức A

Cho
\[ A = \left( \frac{4}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1} \right) : \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - 1 \right) \]

Ta rút gọn từng phần:

1. Rút gọn phần tử số:
\[ \frac{\sqrt{x}}{x - 1} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} \]
Do đó,
\[ \frac{4}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1} = \frac{4}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} \]

Làm mẫu số chung cho hai phân số này:
\[ \frac{4(\sqrt{x} + 1) + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{4\sqrt{x} + 4 + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{5\sqrt{x} + 4}{x - 1} \]

2. Rút gọn phần mẫu số:
\[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - 1 = \frac{\sqrt{x} - (\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} - 1} = \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \]

3. Tính biểu thức \(A\):
\[ A = \frac{\frac{5\sqrt{x} + 4}{x - 1}}{\frac{1}{\sqrt{x} - 1}} = \frac{5\sqrt{x} + 4}{x - 1} \cdot (\sqrt{x} - 1) \]

Rút gọn:
\[ A = \frac{(5\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} - 1)}{x - 1} \]
\[ A = \frac{5x - 5\sqrt{x} + 4\sqrt{x} - 4}{x - 1} \]
\[ A = \frac{5x - \sqrt{x} - 4}{x - 1} \]

### Bước 2: Tìm x nguyên để biểu thức M có giá trị nguyên

Cho:
\[ M = A \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x} + 1} + \frac{x - \sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 3} \]

Thay biểu thức \(A\) đã rút gọn vào:
\[ M = \left(\frac{5x - \sqrt{x} - 4}{x - 1}\right) \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x} + 1} + \frac{x - \sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 3} \]

Ta cần M có giá trị nguyên. Điều kiện để M có giá trị nguyên rất phức tạp, nhưng có thể thử nghiệm với một số giá trị nguyên của \(x\) để kiểm tra. Hãy thử một số giá trị của \(x\) là bình phương của số nguyên:

- Với \(x = 4\):
\[ \sqrt{4} = 2, x = 4 \]

Thay vào \(A\):
\[ A = \frac{5 \cdot 4 - \sqrt{4} - 4}{4 - 1} = \frac{20 - 2 - 4}{3} = \frac{14}{3} \]

Thay vào \(M\):
\[ M = \left( \frac{14}{3} \cdot \frac{2 + 1}{4 + 1} \right) + \frac{4 - 2 - 5}{2 + 3} \]
\[ M = \left( \frac{14}{3} \cdot \frac{3}{5} \right) + \frac{-3}{5} \]
\[ M = \left( \frac{42}{15} \right) - \frac{3}{5} \]
\[ M = \frac{42 - 9}{15} = \frac{33}{15} = \frac{11}{5} \]

\(M\) không phải số nguyên.

- Với \(x = 9\):
\[ \sqrt{9} = 3, x = 9 \]

Thay vào \(A\):
\[ A = \frac{5 \cdot 9 - \sqrt{9} - 4}{9 - 1} = \frac{45 - 3 - 4}{8} = \frac{38}{8} = \frac{19}{4} \]

Thay vào \(M\):
\[ M = \left( \frac{19}{4} \cdot \frac{3 + 1}{6 + 1} \right) + \frac{9 - 3 - 5}{3 + 3} \]
\[ M = \left( \frac{19}{4} \cdot \frac{4}{7} \right) + \frac{1}{6} \]
\[ M = \left( \frac{76}{28} \right) + \frac{1}{6} \]
\[ M = \frac{76}{28} = \frac{19}{7} + \frac{1}{6} \]

\(M\) không phải số nguyên.

Lặp lại quá trình này để tìm kiếm các giá trị của \(x\) sao cho \(M\) có giá trị nguyên. Điều này hiếm khi xảy ra và đòi hỏi thử nghiệm thêm nhiều giá trị khác nhau của \(x\).