Chắc chắn rồi, chúng ta hãy bắt đầu bằng cách rút gọn biểu thức \( P \):

Cho \( P = \left( \frac{1} {\sqrt{x} + 2} + \frac{1} {\sqrt{x} - 2} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} - 2} {\sqrt{x}} \).

Trước tiên, chúng ta cần xử lý biểu thức bên trong ngoặc:

\[ \frac{1} {\sqrt{x} + 2} + \frac{1} {\sqrt{x} - 2}. \]

Để cộng hai phân số này, chúng ta tìm mẫu số chung:

\[ \frac{1} {\sqrt{x} + 2} + \frac{1} {\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x} - 2 + \sqrt{x} + 2} {(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{2\sqrt{x}} {x - 4} .\]

Vậy \( P \) trở thành:

\[ P = \left( \frac{2\sqrt{x}} {x - 4} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} - 2} {\sqrt{x}} \].

Tiếp theo, chúng ta rút gọn:

\[ P = \frac{2\sqrt{x} \cdot (\sqrt{x} - 2)} {(\sqrt{x})(x - 4)} = \frac{2 (\sqrt{x} - 2)}{x - 4}.\]

Rõ ràng, \(\sqrt{x} - 2\) chính là nhân tử của \( x - 4 \):

\[ x - 4 = (\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2), \]

nên \( P \):

\[ P = \frac{2 (\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} = \frac{2} {\sqrt{x} + 2}. \]

Đến đây, chúng ta đã rút gọn xong:

\[ P = \frac{2} {\sqrt{x} + 2}. \]

b) Để tìm \( x \) sao cho \( \frac{7P}{3} \) có giá trị nguyên, chúng ta thay \( P \) vào:

\[ \frac{7P}{3} = \frac{7 \cdot \frac{2} {\sqrt{x} + 2}}{3} = \frac{14} {3 (\sqrt{x} + 2)} .\]

Để biểu thức này là một số nguyên, thì \( 3 (\sqrt{x} + 2) \) phải là ước của 14, tức là:

\[ 3 (\sqrt{x} + 2) \in \{1, 2, 7, 14\}. \]

Tuy nhiên, \( 3 (\sqrt{x} + 2) \) không thể bằng 1, 2, hoặc 7, vì không thể tạo ra biểu thức hợp lý từ đó - nó chỉ có thể là 14:

\[ 3 (\sqrt{x} + 2) = 14 \Rightarrow \sqrt{x} + 2 = \frac{14}{3},\]

\[ \sqrt{x} = \frac{14}{3} - 2 = \frac{14}{3} - \frac{6}{3} = \frac{8}{3},\]

Tiếp theo, bình phương hai vế để tìm \( x \):

\[ x = \left( \frac{8} {3} \right)^2 = \frac{64} {9}. \]

Vậy \( x = \frac{64} {9} \) là giá trị mà \( \frac{7P}{3} \) là số nguyên.