Xét tính đồng biến, nghịch biến của y = (1 - x + x^2)/(1 + x - x^2) trên [0; 1]

Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \( y = \frac{1 - x + x^2}{1 + x - x^2} \) trên đoạn \([0, 1]\), chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số y và xét dấu của đạo hàm này.

Bước 1: Tính đạo hàm của y.

Đặt \( u = 1 - x + x^2 \) và \( v = 1 + x - x^2 \).

Đạo hàm của \( u \) và \( v \) lần lượt là:
\[ u' = -1 + 2x \]
\[ v' = 1 - 2x \]

Đạo hàm của hàm số \( y = \frac{u}{v} \) được tính theo công thức:
\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Thay \( u, u', v, v' \) vào, ta có:
\[ y' = \frac{(-1 + 2x)(1 + x - x^2) - (1 - x + x^2)(1 - 2x)}{(1 + x - x^2)^2} \]

Bước 2: Rút gọn biểu thức trên.

Tử số:
\[ (-1 + 2x)(1 + x - x^2) - (1 - x + x^2)(1 - 2x) \]
\[ = (-1 + 2x + x - 2x^2 - x^2 + 2x^3) - (1 - 2x - x + 2x^2 + x^2 - 2x^3) \]
\[ = (-1 + 3x - 3x^2 + 2x^3) - (1 - 3x + 3x^2 - 2x^3) \]
\[ = -1 + 3x - 3x^2 + 2x^3 - 1 + 3x - 3x^2 + 2x^3 \]
\[ = -2 + 6x - 6x^2 + 4x^3 \]
\[ = 2(-1 + 3x - 3x^2 + 2x^3) \]

Tử số sau khi rút gọn: \( 2(-1 + 3x - 3x^2 + 2x^3) \)

Mẫu số:
\[ v^2 = (1 + x - x^2)^2 \]

Bước 3: Xét dấu của \( y' \) trên đoạn \([0, 1]\).

Đạo hàm của \( y \) sau khi rút gọn trở thành:
\[ y' = \frac{2(-1 + 3x - 3x^2 + 2x^3)}{(1 + x - x^2)^2} \]

- Khi \(0 \le x < 1\), tử số của \( y' \) dương.
- Khi \(x = 0\), tử số của \( y' = -2 < 0\).

Do đó, hàm số \( y \) nghịch biến trên khoảng \([0, 1)\).

Như vậy, hàm số \( y = \frac{1 - x + x^2}{1 + x - x^2} \) nghịch biến trên đoạn \([0, 1]\).