Chúng ta sẽ đi từng bài một để tìm n.

1. \( (n^2 - 2) \) chia hết cho \( (n + 3) \)

Ta xét phép chia \( (n^2 - 2) \) cho \( (n + 3) \):
\[ n^2 - 2 = (n + 3)(n - 3) + 7 \]

Điều kiện là \( n^2 - 2 \) phải chia hết cho \( n + 3 \), tức là số dư phải bằng 0.
\[ 7 \equiv 0 \pmod{n + 3} \]

Từ đây ta có:
\[ n + 3 \text{ phải là ước của 7} \]

Do đó:
\[ n + 3 = \pm 1 \]
\[ n + 3 = \pm 7 \]

Giải các trường hợp trên:
\[ n + 3 = 1 \quad \Rightarrow \quad n = -2 \]
\[ n + 3 = -1 \quad \Rightarrow \quad n = -4 \]
\[ n + 3 = 7 \quad \Rightarrow \quad n = 4 \]
\[ n + 3 = -7 \quad \Rightarrow \quad n = -10 \]

Vậy, các giá trị của n là: \( n = -2, -4, 4, -10 \).

2. \( (4n + 1) \) chia hết cho \( (n - 4) \)

Ta xét phép chia \( (4n + 1) \) cho \( (n - 4) \):
\[ 4n + 1 = (n - 4)k + r \]

Để (4n + 1) chia hết cho (n - 4), số dư \( r = 0 \).

Ta giải phương trình:
\[ 4n + 1 = k(n - 4) \]

\[ 4n + 1 = kn - 4k \]

\[ 4n - kn = -4k - 1 \]

\[ n(4 - k) = -4k - 1 \]

\[ n = \frac{-4k - 1}{4 - k} \]

Để \( n \) là số nguyên, \( \frac{-4k - 1}{4 - k} \) phải là số nguyên. Ta cần giá trị \( k \) sao cho biểu thức này ra số nguyên. Thử các giá trị nguyên của k:

Trường hợp \( k = 4 \) không hợp lý vì sẽ có mẫu số bằng 0.

Thử \( k = \text{các số gần 4} \)

Khi \( k = 3 \):
\[ n = \frac{-4*3 - 1}{4 - 3} = \frac{-12 - 1}{1} \Rightarrow n = -13 \]

Khi \( k = 5 \):
\[ n = \frac{-4*5 - 1}{4 - 5} = \frac{-20 - 1}{-1} \Rightarrow n = 21 \]

Vậy, các giá trị n thỏa mãn là \( n = -13 \) và \( n = 21 \).

3. \( (x - 2)(y + 3) = 5 \)

Ta cần tìm các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn điều kiện này. Biểu thức có thể phân tích như sau:

\[ x - 2 \] và \( y + 3 \) là các ước của 5.

Các ước của 5 là: \( \pm 1 \) và \( \pm 5 \).

Thử các trường hợp:
- Nếu \( x - 2 = 1 \) và \( y + 3 = 5 \):
\( x = 3 \) và \( y = 2 \)

- Nếu \( x - 2 = -1 \) và \( y + 3 = -5 \):
\( x = 1 \) và \( y = -8 \)

- Nếu \( x - 2 = 5 \) và \( y + 3 = 1 \):
\( x = 7 \) và \( y = -2 \)

- Nếu \( x - 2 = -5 \) và \( y + 3 = -1 \):
\( x = -3 \) và \( y = -4 \)

Vậy các cặp \( (x, y) \) thỏa mãn là:
\[ (3, 2), (1, -8), (7, -2), (-3, -4) \]