Dưới đây là giải ngắn gọn cho các phương trình lượng giác đã cho:

a) \(\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin(3x)\)

\[\sin A = \sin B \Rightarrow A = B + k2\pi \text{ hoặc } A = \pi - B + k2\pi\]
\[
\Rightarrow x + \frac{\pi}{3} = 3x + k2\pi \text{ hoặc } x + \frac{\pi}{3} = \pi - 3x + k2\pi
\]
Giải từng trường hợp:
1. \( x + \frac{\pi}{3} = 3x + k2\pi \)
\[ \Rightarrow -2x = k2\pi - \frac{\pi}{3} \]
\[ \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} - k\pi \]

2. \( x + \frac{\pi}{3} = \pi - 3x + k2\pi \)
\[ \Rightarrow 4x = \pi - \frac{\pi}{3} + k2\pi \]
\[ \Rightarrow 4x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \]
\[ \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{2} \]

Vậy nghiệm là: \(x = \frac{\pi}{3} - k\pi\) hoặc \( x = \frac{\pi}{6} + k \frac{\pi}{2}\), với \(k \in \mathbb{Z}\).

b) \(\sin(2x - \frac{\pi}{4}) + \sin(x) = 0\)

Dùng công thức cộng:
\[ \sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) \]
\[ A = 2x - \frac{\pi}{4}, B = x \]
\[ \sin \left( \frac{3x - \frac{\pi}{4}}{2} \right) \cos \left( \frac{x - \frac{\pi}{4}}{2} \right) = 0 \]

Vậy:
1. \(\sin \left( \frac{3x - \frac{\pi}{4}}{2} \right) = 0\)
\[ \Rightarrow \frac{3x - \frac{\pi}{4}}{2} = k\pi \]
\[ \Rightarrow 3x - \frac{\pi}{4} = 2k\pi \]
\[ \Rightarrow x = \frac{2k\pi + \frac{\pi}{4}}{3} \]

2. \(\cos \left( \frac{x - \frac{\pi}{4}}{2} \right) = 0 \)
\[ \Rightarrow \frac{x - \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \]
\[ \Rightarrow x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2k\pi \]
\[ \Rightarrow x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \]

Vậy nghiệm là \( x = \frac{2k\pi + \frac{\pi}{4}}{3} \) hoặc \( x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \), với \(k \in \mathbb{Z}\).

c) \(\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \cos(2x) = 0\)

Dùng công thức cộng:
\[ \cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) \]
\[ A = x - \frac{\pi}{4}, B = 2x \]
\[ \cos \left( \frac{3x + \frac{\pi}{4}}{2} \right) \cos \left( \frac{x - \frac{5\pi}{4}}{2} \right) = 0 \]

Vậy:
1. \(\cos \left( \frac{3x + \frac{\pi}{4}}{2} \right) = 0\)
\[ \Rightarrow \frac{3x + \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \]
\[ \Rightarrow 3x + \frac{\pi}{4} = \pi + 2k\pi \]
\[ \Rightarrow x = \frac{\pi - \frac{\pi}{4}}{3} + \frac{4k\pi}{3} \]
\[ \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{4k\pi}{3} \]

2. \(\cos \left( \frac{x - \frac{5\pi}{4}}{2} \right) = 0 \)
\[ \Rightarrow \frac{x - \frac{5\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \]
\[ \Rightarrow x - \frac{5\pi}{4} = \pi + 2k\pi \]
\[ \Rightarrow x = \frac{9\pi}{4} + 2k\pi \]

Vậy nghiệm là \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{4k\pi}{3} \) hoặc \( x = \frac{9\pi}{4} + 2k\pi \), với \(k \in \mathbb{Z}\).

d) \(\cos x + \sin(4x) = 0\)

\[ \cos x + 2 \sin(2x) \cos(2x) = 0 \]
\[ \cos x = -2 \sin(2x) \cos(2x) \]
Dùng công thức \( \sin(2A) = 2\sin A \cos A \):
\[ \cos x = - \sin(4x) \]

\[ \cos x = - \sin(4x) \]
\[ \cos x = - 2 \sin(2x) \cos(2x) \]
Thu gọn tính toán như trên hoặc phân tích thành đơn giản hơn tạo các phương trình:

\[ \cos x = - \sqrt{1 - \cos^2(4x) }\]

Vậy nghiệm là \( x = \) ... khác \( x\) trong hàm cơ bản đơn giản hơn.