Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán:

**Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.**

### a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

1. **Xét tam giác vuông ABC tại A.**
2. Gọi \(1.\) vì \(AB < AC.\)
3. Do \(M là trung điểm của BC\), ta có: \(MB = MC.\)
4. Do D. nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA nên tam giác AMD là tam giác cân tại M.
5. Xét hình chữ nhật ABDC:
- Ta có: \(AD = MA\) (vì \(MD = MA\) và \(D nằm trên tia đối của tia MA\)).
- Góc B và góc C đều là góc vuông (vì \(tam giác ABC vuông tại A\)).
- Do đó tứ giác ABDC có bốn góc vuông và hai cạnh đối song song.

Vậy \(tứ giác ABDC là hình chữ nhật.\)

### b) Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE. Chứng minh tứ giác BEDC là hình bình hành.

1. Gọi \(E\) là điểm sao cho \(B\) là trung điểm của \(AE\).
2. Vì \(B là trung điểm của AE\) nên \(AE = 2AB.\)
3. Do \(ABCD là hình chữ nhật\) (ta đã chứng minh ở mục a), suy ra:
- \(AB = CD\)
- \(AD \parallel BC\) và \(AB \parallel DC.\)
4. \(BA // DE \) và \( BA = CD // BE\)
5. Tứ giác \(BEDC\) có hai cạnh đối song song và bằng nhau.

Vậy, \(tứ giác BEDC là hình bình hành.\)

### c) EM cắt BD tại K. Chứng minh \(EK = 2KM.\)

1. Gọi \(EM\) cắt \(BD\) tại \(K\).
2. Tam giác \(EBK = \frac{1}{2} tam giác EM, \)

Vậy \(EK = 2KM.\)

Hy vọng các bước giải trên giúp bạn giải quyết bài toán dễ dàng hơn!