Cho số A = 2006^2024. Tìm số dư của A khi chia cho 3; 5; 7; 9; 223

Để tìm số dư của \( A = 2006^{2024} \) khi chia cho các số 3, 5, 7, 9, và 223, ta có thể sử dụng định lý số dư nhỏ (Fermat's Little Theorem) và tính chất chu kỳ của các đồng dư.

### Chia cho 3

Số 2006 có thể viết thành \( 2006 \equiv 2 \pmod{3} \) vì \( 2006 \mod 3 = 2 \).

Do đó,
\[ 2006^{2024} \equiv 2^{2024} \pmod{3} \]

Theo định lý số dư nhỏ của Fermat, \( a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \) với số nguyên tố \( p \) và số nguyên \( a \) mà \( p \not| a \).

Ở đây, \( 3-1 = 2 \), vậy:
\[ 2^2 \equiv 1 \pmod{3} \]

Chia 2024 cho 2:
\[ 2024 = 1012 \times 2 \]

Do đó,
\[ 2^{2024} = (2^2)^{1012} \equiv 1^{1012} \equiv 1 \pmod{3} \]

Vậy số dư của \( 2006^{2024} \) khi chia cho 3 là 1.

### Chia cho 5

Số 2006 có thể viết thành \( 2006 \equiv 1 \pmod{5} \) vì \( 2006 \mod 5 = 1 \).

Do đó,
\[ 2006^{2024} \equiv 1^{2024} \pmod{5} \]

Vì \( 1^{2024} = 1 \),

Vậy số dư của \( 2006^{2024} \) khi chia cho 5 là 1.

### Chia cho 7

Số 2006 có thể viết thành \( 2006 \equiv 4 \pmod{7} \) vì \( 2006 \mod 7 = 4 \).

Do đó,
\[ 2006^{2024} \equiv 4^{2024} \pmod{7} \]

Theo định lý số dư nhỏ của Fermat, \( 4^6 \equiv 1 \pmod{7} \) vì \( 7 - 1 = 6 \).

Chia 2024 cho 6:
\[ 2024 = 337 \times 6 + 2 \]

Do đó,
\[ 4^{2024} = (4^6)^{337} \times 4^2 \equiv 1^{337} \times 4^2 \equiv 4^2 \pmod{7} \]

Tính \( 4^2 = 16 \),
\[ 16 \mod 7 = 2 \]

Vậy số dư của \( 2006^{2024} \) khi chia cho 7 là 2.

### Chia cho 9

Số 2006 có thể viết thành \( 2006 \equiv 4 \pmod{9} \) vì \( 2006 \mod 9 = 4 \).

Do đó,
\[ 2006^{2024} \equiv 4^{2024} \pmod{9} \]

Nhận thấy rằng:
\[ 4^3 \equiv 1 \pmod{9} \]

Chia 2024 cho 3:
\[ 2024 = 674 \times 3 + 2 \]

Do đó,
\[ 4^{2024} = (4^3)^{674} \times 4^2 \equiv 1^{674} \times 4^2 \equiv 4^2 \pmod{9} \]

Tính \( 4^2 = 16 \),
\[ 16 \mod 9 = 7 \]

Vậy số dư của \( 2006^{2024} \) khi chia cho 9 là 7.

### Chia cho 223

Số 2006 có thể viết thành \( 2006 \equiv 1 \pmod{223} \) vì \( 2006 \mod 223 = 1 \).

Do đó,
\[ 2006^{2024} \equiv 1^{2024} \pmod{223} \]

Vì \( 1^{2024} = 1 \),

Vậy số dư của \( 2006^{2024} \) khi chia cho 223 là 1.

### Tổng hợp kết quả

| Chia cho | Số dư |
|----------|-------|
| 3 | 1 |
| 5 | 1 |
| 7 | 2 |
| 9 | 7 |
| 223 | 1 |