Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các định lý Pythagore cũng như các tỉ số lượng giác.

Dữ kiện đã cho:
- Tam giác ABC vuông tại A.
- \( \angle ABC = 60^\circ \).
- \( AC = 3m \).

### Bước 1: Tìm cạnh AB

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên hai cạnh góc vuông là AB và AC. Vì \( \angle ABC = 60^\circ \), ta có thể sử dụng tỉ số lượng giác để tìm AB. Trong tam giác vuông:

\[ \tan(\angle BAC) = \frac{đối}{kề} = \frac{AC}{AB} \]

Ta biết \( \angle ABC = 60^\circ \), vì vậy \( \angle BAC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

Do đó:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{AC}{AB} \]

Mà: \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Suy ra:

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{AB} \]

Giải phương trình này ta có:
\[ AB = 3 \sqrt{3} \, (m) \]

### Bước 2: Tìm đường cao AH

Trong tam giác vuông ABC tại A, đường cao AH đi từ A và vuông góc với BC. Ta đã biết giá trị cạnh góc vuông AC, bây giờ ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Trong tam giác vuông, ta có công thức:

\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]

Trước hết, ta cần tính BC. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có:

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

Suy ra:

\[ BC = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6 \, (m) \]

Áp dụng công thức tính AH:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 3}{6} = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \, (m) \]

### Bước 3: Tính đoạn BH

Để tính BH, ta sử dụng tích của hai đoạn tiếp theo công thức đường cao trong tam giác vuông:

\[ AH^2 = BH \cdot HC \]

tức là:
\[ \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2 = BH \cdot HC \]

Trước hết, ta cần tìm HC. Từ bước tính \(BC = 6m\), ta có:

\[ HC = BC - BH \]

Bây giờ ta tìm BH thông qua \(AH\):

\[ \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2 = BH \cdot (6 - BH) \]

\[ \Rightarrow \frac{27}{4} = BH \cdot (6 - BH) \]

Ta giải phương trình:

\[ 27 = 4 BH \cdot (6 - BH) \]

\[ \Rightarrow 27 = 24 BH - 4 BH^2 \]

\[ \Rightarrow 4 BH^2 - 24 BH + 27 = 0 \]

\[ \Rightarrow BH = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432}}{8} \]

\[ \Rightarrow BH = \frac{24 \pm \sqrt{144}}{8} \]

\[ \Rightarrow BH = 3 \text{ hoặc } BH = \frac{27}{4} \]

Do \( BH \le BC\):

\[ \Rightarrow BH = 3 \, (m) \]

Vậy ta có:

1. \( AB = 3\sqrt{3} \, (m) \)
2. \( AH = \frac{3\sqrt{3}}{2} \, (m) \)
3. \( BH = 3 \, (m) \)

Đó là các giá trị cần tìm.