Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng công thức trong tam giác vuông liên quan đến góc và các cạnh của tam giác. Vì compa là một dụng cụ cơ khí có hai nhánh cứng tạo thành một tam giác cân khi mở ra, ta có thể sử dụng định lý cosin để tìm góc giữa hai nhánh của compa.

Cho:
- Khoảng cách giữa hai đầu mút của compa (AB) là \( 3 \, \text{cm} \).
- Độ dài của mỗi cánh compa (OA và OB) là \( 4,5 \, \text{cm} \).

Định lý cosin cho tam giác \( OAB \) cân ta có:
\[ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\theta) \]

Thay các giá trị đã biết vào công thức:
\[ 3^2 = 4,5^2 + 4,5^2 - 2 \cdot 4,5 \cdot 4,5 \cdot \cos(\theta) \]

Giải phương trình trên để tìm \(\cos(\theta)\):
\[ 9 = 20,25 + 20,25 - 2 \cdot 4,5 \cdot 4,5 \cdot \cos(\theta) \]
\[ 9 = 40,5 - 40,5 \cdot \cos(\theta) \]
\[ 40,5 \cdot \cos(\theta) = 40,5 - 9 \]
\[ 40,5 \cdot \cos(\theta) = 31,5 \]
\[ \cos(\theta) = \frac{31,5}{40,5} \]
\[ \cos(\theta) = \frac{7}{9} \]

Để tìm \(\theta\), ta dùng hàm arccos:
\[ \theta = \arccos\left(\frac{7}{9}\right) \]

Sử dụng máy tính để tính toán:
\[ \theta \approx 38,94^\circ \]

Để chuyển đổi từ độ sang phút:
Phần số lẻ của độ là \(0,94\). Ta nhân phần này với 60 để tìm phút:
\[ 0,94 \times 60 \approx 56,4 \]

Vậy, góc mở của compa xấp xỉ:
\[ 38^\circ 56' \]