Để giải hệ phương trình này \( \frac{x}{2(x-3)} + \frac{x}{2x} + 2 = \frac{2x}{(x+1)(x-3)} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### Bước 1: Tìm mẫu chung
Biểu thức bao gồm các mẫu số khác nhau, chúng ta cần phải tìm mẫu chung để giải phương trình. Mẫu chung ở đây sẽ là \(2(x-3)(x+1)\).

### Bước 2: Quy đồng mẫu số
Quy đồng mẫu số để tất cả các phân số có cùng mẫu chung: \( 2(x-3)(x+1) \).

- Quy đồng cho phân số thứ nhất: \( \frac{x}{2(x-3)} \)
\[
\frac{x}{2(x-3)} = \frac{x(x+1)}{2(x-3)(x+1)}
\]

- Quy đồng cho phân số thứ hai: \( \frac{x}{2x} \)
\[
\frac{x}{2x} = \frac{1}{2} = \frac{(x-3)(x+1)}{2(x-3)(x+1)}
\]

- Quy đồng cho số hạng thứ ba: \( 2 \)
\[
2 = \frac{4(x-3)(x+1)}{2(x-3)(x+1)}
\]

- Quy đồng cho phân số bên phải: \( \frac{2x}{(x+1)(x-3)} \)
\[
\frac{2x}{(x+1)(x-3)} = \frac{2x}{2(x-3)(x+1)}
\]

### Bước 3: So sánh và giải phương trình
Sau khi quy đồng mẫu số, ta có phương trình:

\[
\frac{x(x+1) + (x-3)(x+1) + 4(x-3)(x+1)}{2(x-3)(x+1)} = \frac{2x}{2(x-3)(x+1)}
\]

Vì các mẫu số đều giống nhau, ta có thể bỏ mẫu và so sánh tử số:

\[
x(x+1) + (x-3)(x+1) + 4(x-3)(x+1) = 2x
\]

### Bước 4: Giải phương trình đơn giản hoá
Chúng ta có phương trình trên dưới dạng đơn giản hơn:

\[
x(x + 1) + (x - 3)(x + 1) + 4(x -3)(x + 1) = 2x
\]

Đầu tiên, mở rộng các biểu thức trong dấu ngoặc:

\[
x^2 + x + (x^2 - 3x + x - 3) + 4(x^2 - 3x + x - 3) = 2x
\]

Đơn giản hóa:

\[
x^2 + x + x^2 - 2x - 3 + 4(x^2 - 2x - 3) = 2x
\]

Kết hợp các hạng tử giống nhau:

\[
x^2 + x^2 + x^2 - 3x + x + 4x^2 - 8x - 12 = 2x
\]

Ta có:

\[
7x^2 - 10x - 15 = 2x
\]

Chuyển tất cả các hạng tử về một bên của phương trình:

\[
7x^2 - 12x - 15 = 0
\]

### Bước 5: Giải phương trình bậc hai
Giải phương trình bậc hai \( 7x^2 - 12x - 15 = 0 \) bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 7 \), \( b = -12 \), và \( c = -15 \):

\[
x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \times 7 \times (-15)}}{2 \times 7}
\]

\[
x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 420}}{14}
\]

\[
x = \frac{12 \pm \sqrt{564}}{14}
\]

\[
x = \frac{12 \pm 2\sqrt{141}}{14}
\]

\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{141}}{7}
\]

Vậy, nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{6 + \sqrt{141}}{7} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{6 - \sqrt{141}}{7}
\]

### Kết luận

Nghiệm của phương trình là \(x = \frac{6 + \sqrt{141}}{7}\) hoặc \(x = \frac{6 - \sqrt{141}}{7}\).