Để giải phương trình:
\[ x + \frac{1}{2x - 2} - x - \frac{1}{2x + 2} + \frac{2x}{(1 - x)(x + 1)} = 0 \]

Trước tiên sẽ gom các số hạng lại với nhau và đơn giản hóa các phần tử. Lưu ý đến các điều kiện để phương trình có nghĩa là \(x \neq 1\) và \(x \neq -1\).

Bước 1: Đơn giản hóa phương trình:
\[ x - x + \frac{1}{2x - 2} - \frac{1}{2x + 2} + \frac{2x}{(1 - x)(x + 1)} = 0 \]

Bước 2: Đơn giản hóa các phần tử riêng lẻ:
\[ \frac{1}{2x - 2} - \frac{1}{2x + 2} = \frac{(2x + 2) - (2x - 2)}{(2x-2)(2x+2)} = \frac{4}{(2x-2)(2x+2)} = \frac{4}{4(x-1)(x+1)} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} \]

Bây giờ phương trình trở thành:
\[ \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{2x}{(1-x)(x+1)} = 0 \]

Chú ý rằng \(1-x = -(x-1)\) để có:
\[ \frac{1}{(x-1)(x+1)} - \frac{2x}{(x-1)(x+1)} = 0 \]

Gộp các phân số:
\[ \frac{1 - 2x}{(x-1)(x+1)} = 0 \]

Mẫu số chung không được bằng 0, ta xem xét tử số:
\[ 1 - 2x = 0 \]
\[ 2x = 1 \]
\[ x = \frac{1}{2} \]

Cuối cùng kiểm tra xem giá trị này có thỏa mãn điều kiện ban đầu không (x ≠ 1 và x ≠ -1). Ở đây \( x = \frac{1}{2} \) thỏa mãn, ta kết luận.

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[ x = \frac{1}{2} \]