Để giải hệ phương trình \( x + \frac{1}{2x - 2} - x - \frac{1}{2x + 2} + \frac{2x}{(1 - x)(x + 1)} = 0 \), trước tiên chúng ta cần thao tác và đơn giản hóa từng phần của phương trình.

Chúng ta có:

1. \( x \)
2. \( \frac{1}{2x - 2} \)
3. \( - x \)
4. \( - \frac{1}{2x + 2} \)
5. \( \frac{2x}{(1 - x)(x + 1)} \)

Nhận thấy rằng \( x \) và \( -x \) sẽ triệt tiêu nhau, chúng ta còn lại:

\[
\frac{1}{2x - 2} - \frac{1}{2x + 2} + \frac{2x}{(1 - x)(x + 1)} = 0
\]

Chúng ta cần tìm mẫu số chung cho các phân số này:

Mẫu số chung của \( \frac{1}{2x - 2} \) và \( \frac{1}{2x + 2} \) là \((2x - 2)(2x + 2)\).
\[
\frac{1}{2x - 2} = \frac{1}{2(x-1)}
\]
\[
\frac{1}{2x + 2} = \frac{1}{2(x+1)}
\]

Làm đơn giản:
\[
\frac{(x+1) - (x-1)}{2(x-1)(x+1)} = \frac{2}{2(x^2 - 1)} = \frac{1}{x^2 - 1}
\]

Bây giờ kết hợp với phân số thứ ba:
\[
\frac{1}{x^2 - 1} + \frac{2x}{(1 - x)(x + 1)} = 0
\]

Làm đơn giản:
\[
\frac{1}{x^2 - 1} - \frac{2x}{(x - 1)(x + 1)} = 0
\]
Mẫu số vẫn là \( (x - 1)(x + 1) \), đơn giản hóa từ mẫu này ở tử:

\[
1 - 2x = 0
\]

Do đó:
\[
-2x = -1
\]
\[
x = \frac{1}{2}
\]

Kiểm tra lại đáp án có hợp lý không:

Thay \( x = \frac{1}{2} \) vào phương trình ban đầu:
\[
\frac{1}{2(x - 1)} - \frac{1}{2(x + 1)} + \frac{2x}{(1 - x)(x + 1)}
\]

Phương pháp đơn lược:

\[
x = \frac{1}{2}
\]

Đáp án: \( x = \frac{1}{2} \)