Để giải bài này, ta sẽ sử dụng các kiến thức về tỉ lệ và định lý Pitago.

### a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH và HC.

1. **Tính độ dài AB và AC:**
Giả sử \( AB = 3x \) và \( AC = 4x \).

2. **Tính độ dài BC:**
Theo định lý Pitago, ta có:
\[
BC = \sqrt{(AB)^2 + (AC)^2} = \sqrt{(3x)^2 + (4x)^2} = \sqrt{9x^2 + 16x^2} = \sqrt{25x^2} = 5x
\]
Biết rằng \( BC = 15 \) cm, ta có:
\[
5x = 15 \implies x = 3 \text{ cm}
\]
Do đó, ta tính được:
\[
AB = 3x = 9 \text{ cm}, \quad AC = 4x = 12 \text{ cm}
\]

3. **Xác định H:**
H thuộc BC, theo tỉ lệ, ta có:
\[
\frac{BH}{HC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}
\]
Gọi \( BH = 3k \) và \( HC = 4k \). Ta có:
\[
BH + HC = BC \implies 3k + 4k = 15 \implies 7k = 15 \implies k = \frac{15}{7} \text{ cm}
\]

4. **Tính BH và HC:**
\[
BH = 3k = 3 \times \frac{15}{7} = \frac{45}{7} \approx 6.43 \text{ cm}
\]
\[
HC = 4k = 4 \times \frac{15}{7} = \frac{60}{7} \approx 8.57 \text{ cm}
\]

### b) Kẻ phân giác AD (D thuộc BC). Tính độ dài đoạn thẳng HD.

1. **Tính độ dài HD:**
Theo định lý phân giác, tỉ lệ độ dài đoạn thẳng liên quan đến phân giác được xác định bởi các cạnh đối diện. Do đó:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}
\]
Gọi \( BD = 3m \) và \( DC = 4m \), ta có:
\[
BD + DC = BC \implies 3m + 4m = 15 \implies 7m = 15 \implies m = \frac{15}{7} \text{ cm}
\]
\[
BD = 3m = \frac{45}{7} \text{ cm}, \quad DC = 4m = \frac{60}{7} \text{ cm}
\]

2. **Tính HD:**
Ta biết rằng \( HD = HC - DC \):
\[
HD = \frac{60}{7} - \frac{60}{7} = 0 \quad (HD = 0)
\]
Nếu như D nằm giữa B và C:
\[
HD = DC - (k - BD) = \text{ tỉ lệ đối xứng nào đó}
\]

Rốt cuộc, bạn có thân phận và phương pháp tính độ dài đoạn thẳng cần thiết trong tam giác vuông.