Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, trung tuyến AM. Gọi D, E thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC; K là giao điểm của AM và DE

Để giải bài toán trong hình có hình tam giác vuông ABC với A là đỉnh vuông tại A, ta thực hiện từng phần như sau:

### a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật

Tứ giác ADHE sẽ là hình chữ nhật nếu có 2 cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

- Ta có **D và E** lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC, nghĩa là:
- **AD ⊥ AB**
- **AE ⊥ AC**

Vì vậy, các góc ∠ADH và ∠AEH đều là góc vuông, do đó:
- ADHE là tứ giác có 2 góc vuông.

Vậy với việc **AD || EH** và **AE || DH**, ta có tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

### b) Giải tam giác ABC

Sử dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC:

- \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)

Biết:
- \( HB = 3 \, cm \)
- \( HC = 7 \, cm \)

Theo định lý đoạn chia tỉ lệ trong tam giác vuông, ta có:
- \( AH^2 = HB \cdot HC = 3 \cdot 7 = 21 \) ⇒ \( AH = \sqrt{21} \approx 4.58 \) cm

Giả sử:
- \( AB = a \)
- \( AC = b \)

Ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BH}{CH} = \frac{3}{7}
\]
Từ đó, ta có thể lập hệ phương trình và tính toán để tìm độ dài cạnh AB và AC.

### c) Chứng minh \( AD^2 = DK \cdot AH \)

Theo tính chất hình chữ nhật và tuyến tính trong không gian, ta có:
- Vì D và E là hình chiếu của H, ta có mối quan hệ sau theo định lý đường trung bình và tính chất tứ giác.

Cụ thể hơn, khi chứng minh:
- \( DK \) là đoạn thẳng nối giữa điểm D và điểm K.

Từ đó, chứng minh rằng \( AD^2 = DK \cdot AH \) có thể được thực hiện qua tính chất hình học của đường cao và trung tuyến trong tam giác.

Nếu bạn cần thêm thông tin chi tiết về các bước giải cụ thể hơn, hãy cho tôi biết!