Để giải bài toán này, trước hết ta nhận thấy rằng dãy số 7, 10, 13, ... là một dãy số số học với:

- Số hạng đầu tiên \(a = 7\)
- Công sai \(d = 10 - 7 = 3\)

Công thức tổng của dãy số học có \(n\) số hạng là:

\[
S_n = \frac{n}{2} (a + l)
\]

Trong đó \(l\) là số hạng cuối cùng (x trong trường hợp này), và số hạng thứ \(n\) có công thức:

\[
l = a + (n - 1)d
\]

Sử dụng công thức số hạng thứ \(n\):

\[
x = 7 + (n - 1) \cdot 3 = 7 + 3n - 3 = 3n + 4
\]

Vậy chúng ta có thể thay \(x\) vào công thức tổng:

\[
S_n = \frac{n}{2} (7 + (3n + 4)) = \frac{n}{2} (3n + 11)
\]

Biểu thức tổng trở thành:

\[
S_n = \frac{n(3n + 11)}{2}
\]

Theo đề bài, \(S_n = 420\), ta có:

\[
\frac{n(3n + 11)}{2} = 420
\]

Nhân hai vế với 2:

\[
n(3n + 11) = 840
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
3n^2 + 11n - 840 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \(a = 3\), \(b = 11\), \(c = -840\):

\[
b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-840) = 121 + 10080 = 10201
\]

\[
\sqrt{10201} = 101
\]

Thay vào công thức nghiệm:

\[
n = \frac{-11 \pm 101}{6}
\]

Ta tìm được hai nghiệm:

1. Lấy dấu cộng:
\[
n = \frac{90}{6} = 15
\]

2. Lấy dấu trừ:
\[
n = \frac{-112}{6} \text{ (không có nghĩa)}
\]

Vậy chỉ có \(n = 15\). Kết hợp với công thức để tìm \(x\):

\[
x = 3n + 4 = 3 \cdot 15 + 4 = 45 + 4 = 49
\]

Vậy \(x\) cần tìm là:

\[
\boxed{49}
\]