Chứng minh rằng

Để chứng minh rằng

\[
\frac{a^{1994} + c^{1994}}{b^{1994} + d^{1994}} = \frac{(a + c)^{1994}}{(b + d)^{1994}},
\]

biết rằng \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\).

Ta có thể viết lại tỷ lệ này dưới dạng:

\[
a = kb \quad \text{và} \quad c = kd
\]

với \(k\) là một hằng số nào đó. Bây giờ chúng ta thay \(a\) và \(c\) vào biểu thức cần chứng minh:

Bên trái:

\[
\frac{(kb)^{1994} + (kd)^{1994}}{b^{1994} + d^{1994}} = \frac{k^{1994} b^{1994} + k^{1994} d^{1994}}{b^{1994} + d^{1994}} = \frac{k^{1994}(b^{1994} + d^{1994})}{b^{1994} + d^{1994}} = k^{1994}.
\]

Bên phải:

\[
\frac{(kb + kd)^{1994}}{(b + d)^{1994}} = \frac{k^{1994}(b + d)^{1994}}{(b + d)^{1994}} = k^{1994}.
\]

Vậy, chúng ta có:

\[
\frac{a^{1994} + c^{1994}}{b^{1994} + d^{1994}} = \frac{(a + c)^{1994}}{(b + d)^{1994}}.
\]

Do đó, ta đã chứng minh thành công.