Để chứng minh rằng \( DE = CF \) trong hình thang cân \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình thang cân và hình chiếu.

### Bước 1: Vẽ hình và Đặt điểm

Trước hết, ta vẽ hình thang cân \( ABCD \):

- Gọi \( AB \parallel CD \) với \( AB \) là đáy lớn và \( CD \) là đáy nhỏ.
- Gọi \( E \) là hình chiếu của điểm \( A \) lên đường thẳng \( CD \) và \( F \) là hình chiếu của điểm \( B \) lên đường thẳng \( CD \).

### Bước 2: Tính chất của hình thang cân

Trong hình thang cân, các cạnh bên \( AD \) và \( BC \) có độ dài bằng nhau, tức là \( AD = BC \). Hơn nữa, các đoạn thẳng \( DE \) và \( CF \) tạo thành các hình chiếu vuông góc từ \( A \) và \( B \) xuống \( CD \).

### Bước 3: Cân bằng đoạn thẳng

- Triangle \( ADE \) và triangle \( BCF \) đều là tam giác vuông.
- Điểm \( E \) là hình chiếu của \( A \) lên \( CD \) nên \( AE \perp CD \).
- Điểm \( F \) là hình chiếu của \( B \) lên \( CD \) nên \( BF \perp CD \).

### Bước 4: Sử dụng định lý Pytago

Trong các tam giác vuông \( \triangle ADE \) và \( \triangle BCF \):

- Hai tam giác này cùng có một góc vuông và chia sẻ cùng một góc \( \angle ADB = \angle BCA \).
- Do đó, chúng là đồng dạng với tỉ lệ chiều cao đến cạnh huyền là bằng nhau.

### Bước 5: Kết luận

Khi đã có sự đồng dạng này, chúng ta có thể khẳng định rằng \( DE = CF \) (khoảng cách từ các hình chiếu đến đường thẳng \( CD \) trên cùng một đường thẳng, vì các đường cao đoạn thẳng này có chung một khoảng cách do hình thang cân và chiều cao của hai tam giác vuông này là bằng nhau).

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( DE = CF \).