Cho a, b, c thuộc R, a + b + 3ab = 1. MaxP = 6ab/a + b - a^2 - b^2

Để giải bài toán tối đa hoá hàm \( P = \frac{6ab}{a + b} - a^2 - b^2 \) dưới ràng buộc \( a + b + 3ab = 1 \), ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Xác định mối liên hệ giữa \( a \) và \( b \)**:
Từ ràng buộc \( a + b + 3ab = 1 \), ta có thể viết lại \( b = \frac{1 - a}{1 + 3a} \).

2. **Thay vào hàm P**:
Ta thay vào hàm \( P \):

\[
P = \frac{6a \cdot \left(\frac{1 - a}{1 + 3a}\right)}{a + \frac{1 - a}{1 + 3a}} - a^2 - \left(\frac{1 - a}{1 + 3a}\right)^2
\]

Để dễ dàng hơn, ta gọi \( x = a \), và \( y = b = \frac{1 - a}{1 + 3a} \), từ đó ta có thể viết lại biểu thức \( P \) tùy vào \( x \).

3. **Tính đạo hàm và tìm cực trị**:
Tính đạo hàm của \( P \) theo biến \( a \) và tìm điểm tới hạn bằng cách giải phương trình \( P' = 0 \).

4. **Giải hệ phương trình**:
Ràng buộc \( a + b + 3ab = 1 \) cùng với phương trình cực trị sẽ tạo thành một hệ phương trình cho \( a \) và \( b \).

5. **Giá trị cực đại**:
Kiểm tra các giá trị trong miền hiện có và so sánh các giá trị cực trị để tìm ra giá trị tối đa của \( P \).

Quá trình này có thể phức tạp nên có thể cần tính toán cụ thể hơn. Nếu cần, tôi có thể hướng dẫn cụ thể hơn về từng bước tính toán hoặc áp dụng công thức tối ưu hơn cho bài toán này.