Để chứng minh tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) từ phương trình đã cho:

\[
\frac{b}{\cos B} + \frac{c}{\cos C} = \frac{a}{\sin B \sin C}
\]

Theo định nghĩa của các cạnh trong tam giác, ta có:

- \( a \) là cạnh đối diện với đỉnh \( A \).
- \( b \) là cạnh đối diện với đỉnh \( B \).
- \( c \) là cạnh đối diện với đỉnh \( C \).

Áp dụng định lý sin cho tam giác \( ABC \), ta có:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\]

với \( R \) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \).

Từ đây, ta có thể viết lại:

\[
b = 2R \sin B \quad \text{và} \quad c = 2R \sin C
\]

Thay vào phương trình đã cho, ta nhận được:

\[
\frac{2R \sin B}{\cos B} + \frac{2R \sin C}{\cos C} = \frac{a}{\sin B \sin C}
\]

Điều này có thể viết lại như sau:

\[
2R \left( \frac{\sin B}{\cos B} + \frac{\sin C}{\cos C} \right) = \frac{a}{\sin B \sin C}
\]

Ta biến đổi các biểu thức trên:

Hệ số \( 2R \) không bằng 0 vì bán kính của đường tròn ngoại tiếp không thể bằng 0. Vì vậy ta có thể chia cả hai vế cho \( 2R \):

\[
\frac{\sin B}{\cos B} + \frac{\sin C}{\cos C} = \frac{a}{2R \sin B \sin C}
\]

Chúng ta biết rằng:

\[
\frac{\sin B}{\cos B} = \tan B \quad \text{và} \quad \frac{\sin C}{\cos C} = \tan C
\]

Do đó, ta có:

\[
\tan B + \tan C = \frac{a}{2R \sin B \sin C}
\]

Theo định lý tang khéo tam giấc, nếu \( A \) là góc vuông, thì ta có

\[
\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = \sin^2 A + \tan^2 B + (1 - \tan^2 B) = 1
\]

Từ định lý Pythagore, nếu tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), ta có:

\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

Dễ dàng nhận thấy rằng nếu tam giác vuông tại \( A \), \( \tan B + \tan C = \frac{1}{\sin A \sin C} \), do đó, từ định lý tang có thể kiểm tra rằng:

- Như vậy, ta có thể xác nhận rằng giả thuyết ban đầu dẫn đến một hệ quả mà xác định góc \( A \) là \( 90^\circ \).

Tổng kết lại, từ phương trình đã cho:

\[
\frac{b}{\cos B} + \frac{c}{\cos C} = \frac{a}{\sin B \sin C}
\]

chúng ta đã chứng minh được rằng tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).